補足資料 計量経済学 鹿野研究室 suppl18

計量経済学 _#18 ：確率的説明変数 ₍₁₎ ・補足資料

担当：鹿野（大阪府立大学） 2011 年度後期

1 ^{条件付き期待値の公式}

条件付き期待値_E(·|X)の公式：定数_a,bについて、 1. E(a + bY|X) = a + bE(Y|X)^。

2. E [s(X)Y|X] = s(X)E(Y|X)^{。ここでs(X)はXの関数。}S (X) = X^{でも良い。}

証明

1. X = x^{に固定すると} E(a + bY|X = x) =^

y

(a + by)g(y|x) =^

y

ag(y|x) +^

y

byg(y|x)

= a



y

g(y|x) + b^

y

yg(y|x) = a + bE(Y| = x)^{. (1)}

Xを固定せず一般化すれば、公式を得る。基本的には、講義ノート_#02の公式E(a + bY) = a + bE(Y)^{の証明と同じ。}

2. X = x^{に固定するとs(x)は定数なので、} E [s(x)Y|X = x] =^

y

s(x)yg(y|x) = s(x)^

y

yg(y|x) = s(x)E(Y|X = x)^{. (2)}

Xを固定せず一般化すれば、 公式を得る。_

2 ^{繰り返し期待値の法則}

繰り返し期待値の法則 ：_Yの通常の期待値_{E(Y) =  yg(y)}と、_CEFの期待値_EX[E(Y|X)]は等 しい。

E(Y) = EX^{[E(Y|X)]. (3)}

1

証明

右辺期待値中の和記号の順番を入れ替えると

E_{X[E(Y|X)] =}^

x

⎡

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣



y

yg(y|x)

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦^{f (x) =}



y

y^

x

g(y|x) f (x)^. (4)

ここで条件付き分布の定義より_{g(y|x) =}

h(x,y)

f (x) ^{⇔ h(x,}y) = g(y|x) f (x)。 また周辺分布の定義は

g(y) =^x^{h(x,y)なので（補足資料#03参照）、}

E_{X[E(Y|X)] =}^

y

y^

x

h(x,_{y) =}^

y

yg(y) = E(Y)^{. (5)}



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