統計学 I (H25 前期 水曜 3限 & 5限） Toshihide Kitakado's Website Lec14

統計学 I

門 利英 海洋生物資源学科

Lecture 14

今日 予定

正規分布 平均 検定

Lecture  ₁₄

 ^{様々 仮説 検定法}

ヷ正規分布 平均 検定 標本，分散既知 _done

ヷ正規分布 平均 検定 標本，分散未知 _done

ヷ正規分布 平均 検定 標本，等分散

ヷ比率 検定 項分布 正規分布近似

少し け前回 復習

少し け前回 復習

仮説検定 流

仮説検定 復習

1. 帰無仮説 対立仮説を設定

2 観測デ タ 確率分布を定義し 仮説 対応さ

2. 観測デヸタ 確率分布を定義し， 仮説 対応さ

3 検定 有意水準(第1種 過誤 確率)を設定( =0 05 3. 検定 有意水準(第1種 過誤 確率)を設定(_=0.05 4. 帰無仮説 正しい 仮定

5 有意水準 合わ 帰無仮説 採択域 棄却域を設定

5. 有意水準 合わ 帰無仮説 採択域 棄却域を設定 6. 帰無仮説を採択 (疑わし 罰 ) , あ い

積極的 帰無仮説を棄却し対立仮説

積極的 帰無仮説を棄却し対立仮説

正規分布 平均 検定 標本，分散既知 定式

仮説検定 復習

帰無仮説 _(H

0^{)  μ=μ}0 ^正しい

2 1

^,

^,...,

^{~ ( ) (}

^{, )}

Y Y Y iid N _{ }

帰無仮説 _(H

0^{)  μ=μ}0 ^{正しい し 標}

本平均 値 注目 ，随分可能 性 低い値 あ こ 分

性 低い値 あ こ 分

2

( )

Y ~ N( ₀,^ ) Y N

n

 

仮説検定 復習

正規分布 平均 検定 標本，分散既知 定式

さ 標準 し

0

~ (0,1)

Z _ Y ^{ } N

領域域

2

^(0,1)

/

Z N

 n

両側_2.5% 領域域 入

い 場合，帰無仮説 仮定

ㄦ 可能性

ㄦ ， 可能性 低いこ 起 い こ

し 帰無仮説 疑わしい 棄却

棄却 ．

仮説検定 復習

正規分布 平均 検定 標本，分散既知 定式

0

( )

Y _{ }

2

^{~ (0,1)}

/

( ) 1

Z Y N

n

P Z



 

/ 2 / 2

/ 2 / 2

( ) 1

( , )

P z Z z

P Z z z Z

 

 





    

 

 

(

)

有意水準α 採択域

/ 2 / 2

z

Z z

  

有意水準α 採択域

分散 既知 場合 未知 場合 違い ？

仮説検定 復習

2 _/ ^{~ (0,1)}

Y Y

Z _ ^{ } _ ^{ } N

2

/ 2 / 2

/ /

( ) 1

n n

P z_ Z z_

 



     ^{ / 2}

0

Z

z_/ 2

分散 未知 ㄥ記 式 使え い

分散 未知 ，ㄥ記 式 使え い

こ ，分散 推定値を代入 ，正規分布 仮定 崩

1 ⁿ

2 2

1

ˆ 1 _{( )}

1

n

i i

Y Y

 n

  



^

~ ( 1) ˆ /

T Y t n

n

 ^ 

  ^{自由度n‐1}

t^分布

T

 / 2

/ 2 / 2

( ) 1

P _t_{  }T t_{   0}

/ 2^{( 1)}

t_ n _

分散 既知 場合 未知 場合 違い ？

仮説検定 復習

n _{= 0.05}

Z 1 96

/ 2

Z_{ ‐} 1.96

Z_{n‐1)} 2 12.706

3 4.303

0

Z

z_/2

4 3.182

5 2.276

9 2.306

10 2.262

1 96

T

 / 2

∞ ^1.96

分散 未知 ，不確実性

大 く 自動的

大 く ． 自動的

安全を見越し 広 区間

演習問題

正規分布 平均 検定

あ 溶液中に含ま い アルコールの割合_(%)を₁₀回測定し 次 の結果を得た．真のアルコールの割合を_μ す ，無帰仮説 _H

0^: 

μ ₀

μ=12 ^{を対立仮説 H}₁^: μ≠12 ^{に対し 有意水準5% 検定せよ．} 12.3, 13.0, 11.8, 12.7, 12.6, 13.4, 11.9, 12.4, 11.6, 12.3

2 2 1

^,

^,...,

^{~ ( ) ( , )}

Y Y Y iid N _{ }

0

^{: 12}

H _{ }

1

^{: 12}

H _{ }

分散の値によ 帰無仮説の妥当性 変わ

分散の値によっ ，帰無仮説の妥当性 変わ

正規分布 平均 検定 標本，分散未知 定式

正規分布 平均 検定

2 1

^,

^,...,

^{~ ( ) ( , )}

Y Y Y iid N _{ } T _ 2.284?(check please!)

 

~ 0,1

Z n Y ^ N

 ^



( p )

~ ( 1)

T n Y t n

 

  

ˆ _{0 5 5 4}

 ^

( 1)

T n ˆ t n



0 .5 5 4

 ^

2.5^％ _2.5

％

採択域

採択域

‐2.262 ^{≦ T   ≦ 2.262}

2標本 検定 等分散

2標本 検定 等分散

Example

2^{標本 検定}

海域 生息 ア 形態的 相違 あ を検討

海域 6個体をサンプリングしプロポ

， 海域 6個体をサンプリングしプロポヸ

ョン(=体高/体長) を測定し ．

海域 0 33 0 35 0 34 0 38 0 35 0 35 海域 0.33, 0.35, 0.34, 0.38, 0.35, 0.35 海域 0.34, 0.36, 0.37, 0.39, 0.39, 0.37

以ㄥ 結果 ，海域間 プロポヸ ョン 差 あ 考え

い ？( し 海域 分散 等しい

い ？( し，海域 分散 等しい

海域 け 標本平均 = 海域 け 標本平均 =

定式

2^{標本 検定}

2 11

^,

^,...,

^{~ ( ) (}

^{, )}

Y Y Y iid N _{ }

2 21

^,

^,...,

^{~ ( ) (}

^{, )}

Y Y Y iid N _{ }



2

1

^~

^,

Y

N ^ _{ }

^{ } _

2

, m





 

 

 

2

^~

^,

Y N

n

 

 

 

 

定式

2^{標本 検定}

し 海域間 プロポヸ ョン 差 い

( ) ( 2)

Y Y Y iid N

_{ }

0

^:

^{( )}

H _{    }

11 12 1

2

21 22 2

, ,..., ~ ( ) ( , ) , ,..., ~ ( ) ( , )

m n

Y Y Y iid N Y Y Y iid N

 

 

2 2

Y N

^

^



   

   

1 ^{~ , ,} 2 ^{~ ,}

Y N Y N

m n

 

   

   



1 1 2

~ 0,

Y Y N

_



 _{ } 

 _ ^, _  _{ }

定式

2^{標本 検定}

 

2 _{1 2}

1 2

1 1

~ 0, ^{Y Y} ~ 0, 1

Y _Y N _^ _^ _ ^_

_

 

   

^{ }

1 2

2

, ,

1 1

m n

m n

^

 

 _{ } 

   _ 

 

 

い ，分散 等しい 仮定し い 未知 推定値 必要

2 2 2

1 1 2 2

1 1

ˆ 1 _{( ) ( )}

2

m n

i i

i i

Y Y Y Y

m n

  ^_    ^_

  ²

^

^

m _ n _{   }

 

1 2

₂

Y Y

T

^

_{ }

2

~ 2

1 1

ˆ

T t n m

m n ^

  

 _ 

 

 ^{m n} 

 

Example

2^{標本 検定}

海域 0.33, 0.35, 0.34, 0.38, 0.35, 0.35 海域 0.34, 0.36, 0.37, 0.39, 0.39, 0.37 海域 0.34, 0.36, 0.37, 0.39, 0.39, 0.37

Y

_

Y

_

1 _ ^{m n} _

2 2 2

1 1 2 2

1 1

ˆ 1 ( ) ( )

2 1

m n

i i

i i

Y Y Y Y

m n

  

 

 _    _

  

^{ }

1

2 m n

 

 

1 2

1 1 2

Y Y T



  

 _ 

 ^ ^

 

比率 検定

比率 検定

Example

比率 検定

海域 種 性比 バラン 崩 懸念さ い ． こ

n=20個 個体をサンプリングし オ 数を観測し

，n=20個 個体をサンプリングし，オ 数を観測し

こ Ｙ=6個体 オ あ ．ここ

を仮定

~ ( , )

Y Bin n p

を仮定 ，

0

^{: 0.5}

H p _

を仮説検定 検討

1

^{: 0.5}

H p _

を仮説検定 検討 ．

定式

比率 検定

~ ( , ) ( , (1 ))

[ ]

Y Bin n p N np np p

E Y np

 

[ ]

[ ] (1 )

E Y np

V Y np p



 

0

^:

( (1 ))

H p p

Y N np np p









( , (1 ))

~ 0, (1 )

Y N np np p

Y np N np p

 

  

0 0

0

(1 )

ˆ _{~ 0,} ^{p p}

p p N

n

  

  _{ }

 

ˆ

~ (0,1)

(1 ) /

p p

Z N

p p n

 

 

0

⁽¹

^{) /}

p _ p n

比率 検定

正規近似 正確さ

ˆp _ p

(0, 1)

(1 )

p p

z n N

p p

 



Example

比率 検定

~ ( , )

Y Bin n p

0

^{: 0.5}

H p _

1

^{: 0.5}

H p _

ˆ

ˆ

p

p p





⁽¹

^{) /}

p p

Z ^ p _ p n ^

付録：Rコ ド

付録：Rコヸド

R ^答え合わ

Ｒコヸド

y1 <‐ c(0.33, 0.35, 0.34, 0.38, 0.35, 0.35) y2 <‐ c(0.34, 0.36, 0.37, 0.39, 0.39, 0.37) y2  c(0.34, 0.36, 0.37, 0.39, 0.39, 0.37) m <‐ length(y1)

n <‐ length(y2) n < length(y2)

sigma2 <‐ ((m‐1)*var(y1)+(n‐1)*var(y2))/(m+n‐2) t <‐ (mean(y1)‐mean(y2))/sqrt((1/m+1/n)*sigma2) tt

pvalue <‐ (1‐pt(abs(t), m+n‐2))*2 pvalue

pvalue

t test(y1 y2 var equal=T) t.test(y1, y2, var.equal=T)

R ^答え合わ

Ｒコヸド

n _{<‐ 50} 20 y <_{‐ 20}

phat <_{‐ y/n} p0 _{<‐ 0.5}

z <‐ sqrt(n)*(phat‐p0)/sqrt(p0*(1‐p0)) z

pvalue <‐ (1‐pnorm(abs(z), 0, 1))*2 pvalue

prop.test(y, n, p0, alternative="two.sided“, correct=F)

最終回 予定

Lecture  15 on Sep 4 

What can you do using statistics? Lots of possibilities!!

What  can you do using statistics? Lots of possibilities!!

Preparation  of the final exam

Q  _& A