統計学 I (H25 前期 水曜 3限 & 5限) Toshihide Kitakado's Website Lec14

26 

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全文

(1)

統計学

I

(2)

今日

予定

正規分布 平均 検定

Lecture

 

14

様々

仮説

検定法

ヷ正規分布

平均

検定

標本,分散既知

done

ヷ正規分布

平均

検定

標本,分散未知

done

ヷ正規分布

平均

検定

標本,等分散

(3)
(4)

仮説検定

仮説検定 復習

1.

帰無仮説

対立仮説を設定

2

観測デ

確率分布を定義し

仮説

対応さ

2.

観測デヸタ

確率分布を定義し,

仮説

対応さ

3

検定

有意水準(第1種

過誤

確率)を設定(

=0 05

3.

検定

有意水準(第1種

過誤

確率)を設定(

=0.05

4.

帰無仮説

正しい

仮定

5

有意水準

合わ

帰無仮説

採択域

棄却域を設定

5.

有意水準

合わ

帰無仮説

採択域

棄却域を設定

6.

帰無仮説を採択

(疑わし

)

, あ

積極的

帰無仮説を棄却し対立仮説

(5)

正規分布

平均

検定

標本,分散既知

定式

仮説検定 復習

帰無仮説

(H

0

)

  μ

=

μ

0

正しい

2

1

,

2

,...,

n

~ (

) (

0

,

)

Y Y

Y

iid N

 

帰無仮説

(H

0

)

  μ

=

μ

0

正しい

本平均

注目

,随分可能

低い値

低い値

2

(

)

Y

~

N

(

0

,

)

Y

N

(6)

仮説検定 復習

正規分布

平均

検定

標本,分散既知

定式

標準

0

~

(0,1)

Y

Z

N

領域域

2

(0,1)

/

Z

N

n

両側

2.5%

領域域

場合,帰無仮説

仮定

可能性

可能性

低いこ

帰無仮説

疑わしい

棄却

(7)

仮説検定 復習

正規分布

平均

検定

標本,分散既知

定式

0

(

)

Y

0

2

~

(0,1)

/

(

)

1

Y

Z

N

n

P

Z

/ 2

/ 2

/ 2

/ 2

(

)

1

(

,

)

P

z

Z

z

P Z

z

z

Z

 

 

 

/ 2

/ 2

(

)

有意水準α

採択域

/ 2

/ 2

z

Z

z

 

(8)

分散

既知

場合

未知

場合

違い

仮説検定 復習

2

/

~

(0,1)

Y

Y

Z

N

2

/ 2

/ 2

/

/

(

)

1

n

n

P

z

Z

z

 

 

/ 2

0

Z

/ 2

z

分散

未知

ㄥ記

使え

分散

未知

,ㄥ記

使え

,分散

推定値を代入

,正規分布

仮定

1

n

2

2

1

1

ˆ

(

)

1

n

i

i

Y

Y

n

~ (

1)

ˆ /

Y

T

t n

n

自由度

n

1

t

分布

T

/ 2

/ 2

/ 2

(

)

1

P

t

 

T

t

 

0

/ 2

(

1)

(9)

分散

既知

場合

未知

場合

違い

仮説検定 復習

n



=

 

0.05

Z

1 96

/ 2

Z



1.96

Z



n

1)

2

12.706

3

4.303

0

Z

/2

z

4

3.182

5

2.276

9

2.306

10

2.262

1 96

T

/ 2

1.96

分散

未知

,不確実性

自動的

0

t

 / 2

(

n

1 )

自動的

(10)

演習問題

正規分布 平均 検定

溶液中に含ま

アルコールの割合

(%)

10

回測定し

の結果を得た.真のアルコールの割合を

μ

,無帰仮説

H

0

:

 

μ

0

μ

=12

 

を対立仮説

H

1

:

 μ≠

12

 

に対し

有意水準

5%

検定せよ.

12.3,

 

13.0,

 

11.8,

 

12.7,

 

12.6,

 

13.4,

 

11.9,

 

12.4,

 

11.6,

 

12.3

2

2

1

,

2

,...,

10

~ (

) ( ,

)

Y Y

Y

iid N

 

0

:

12

H

1

:

12

H

分散の値によ

帰無仮説の妥当性

変わ

(11)

正規分布

平均

検定

標本,分散未知

定式

正規分布 平均 検定

2

1

,

2

,...,

10

~ (

) ( ,

)

Y Y

Y

iid N

 

T

2.284?(check please!)

 

~

0,1

Y

Z

n

N

(

p

)

~ (

1)

Y

T

n

t n

ˆ

0 5 5 4

(

1)

ˆ

T

n

t n

0 .5 5 4

2.5

2.5

採択域

採択域

(12)
(13)

Example

2標本 検定

海域

生息

形態的

相違

を検討

海域

6個体をサンプリングしプロポ

海域

6個体をサンプリングしプロポヸ

ョン(=体高/体長)

を測定し

海域

0 33

0 35

0 34

0 38

0 35

0 35

海域

0.33, 0.35, 0.34, 0.38, 0.35, 0.35

海域

0.34, 0.36, 0.37, 0.39, 0.39, 0.37

以ㄥ

結果

,海域間

プロポヸ

ョン

考え

?(

海域

分散

等しい

?(

し,海域

分散

等しい

海域

標本平均

=

(14)

定式

2標本 検定

2

11

,

12

,...,

1

m

~ (

) (

1

,

)

Y Y

Y

iid N

 

2

21

,

22

,...,

2

n

~ (

) (

2

,

)

Y Y

Y

iid N

 

2

1

~

1

,

Y

1

N

1

2

,

m

2

~

2

,

Y

N

n

(15)

定式

2標本 検定

海域間

プロポヸ

ョン

2

(

) (

)

Y Y

Y

iid N

 

0

:

1

2

(

)

H

 

11

12

1

2

21

22

2

,

,...,

~ (

) ( ,

)

,

,...,

~ (

) ( ,

)

m

n

Y Y

Y

iid N

Y Y

Y

iid N

 

 

2

2

Y

N

Y

N

1

~

,

,

2

~

,

Y

N

Y

N

m

n

2

1

1

~

0,

Y

Y

N

(16)

定式

2標本 検定

 

2

1

2

1

2

1

1

~

0,

Y

Y

~

0, 1

Y

Y

N

N

 

1

2

2

,

,

1

1

m

n

m

n

,分散

等しい

仮定し

未知

推定値

必要

2 2 2

1 1 2 2

1 1

1

ˆ

(

)

(

)

2

m n

i i

i i

Y

Y

Y

Y

m

n

  

2

i 1

i 1

m

n

1

2

2

Y

Y

T

1

2

2

~

2

1

1

ˆ

T

t n

m

m

n

 

m

n

(17)

Example

2標本 検定

海域

0.33, 0.35, 0.34, 0.38, 0.35, 0.35

海域

0.34,

0.36,

0.37,

0.39,

0.39,

0.37

海域

0.34, 0.36, 0.37, 0.39, 0.39, 0.37

1

Y

2

Y

1

m n

2 2 2

1 1 2 2

1 1

1

ˆ

(

)

(

)

2

1

m n

i i

i i

(18)
(19)

Example

比率 検定

海域

性比

バラン

懸念さ

n=20個

個体をサンプリングし

数を観測し

,n=20個

個体をサンプリングし,オ

数を観測し

Y=6個体

.ここ

を仮定

~

( , )

Y

Bin n p

を仮定

0

:

0.5

H

p

を仮説検定

検討

1

:

0.5

H

p

(20)

定式

比率 検定

~

( , )

(

,

(1

))

[ ]

Y

Bin n p

N np np

p

E Y

np

[ ]

[ ]

(1

)

E Y

np

V Y

np

p

0

:

0

(

(1

))

H

p

p

Y

N np np

p

0

0

0

0

0

0

(

,

(1

))

~

0,

(1

)

Y

N np np

p

Y

np

N

np

p

 

0

0

0

(1

)

ˆ

~

0,

p

p

p

p

N

n

 

0

ˆ

~

(0,1)

(1

) /

p

p

Z

N

p

p

n

0

(1

0

) /

(21)

比率 検定

正規近似

正確さ

ˆp

p

(0, 1)

(1

)

p

p

z

n

N

p

p

(22)

Example

比率 検定

~

( , )

Y

Bin n p

0

:

0.5

H

p

1

:

0.5

H

p

ˆ

ˆ

p

p

p

0

0

(1

0

) /

p

p

Z

p

p

n

(23)
(24)

R

答え合わ

Rコヸド

y1

 

<

c(0.33,

 

0.35,

 

0.34,

 

0.38,

 

0.35,

 

0.35)

y2 <

c(0.34, 0.36, 0.37, 0.39, 0.39, 0.37)

y2

 

c(0.34,

 

0.36,

 

0.37,

 

0.39,

 

0.39,

 

0.37)

m

 

<

length(y1)

n <

length(y2)

n

 

< length(y2)

sigma2

 

<

((m

1)*var(y1)+(n

1)*var(y2))/(m+n

2)

t

 

<

(mean(y1)

mean(y2))/sqrt((1/m+1/n)*sigma2)

tt

pvalue <

(1

pt(abs(t),

 

m+n

2))*2

pvalue

pvalue

(25)

R

答え合わ

Rコヸド

n

 

<

50

20

y <

20

phat <

y/n

p0

 

<

0.5

z

 

<

sqrt(n)*(phat

p0)/sqrt(p0*(1

p0))

z

pvalue <

(1

pnorm(abs(z),

 

0,

 

1))*2

pvalue

(26)

最終回

予定

Lecture

 

15

 

on

 

Sep

 

4

 

What can you do using statistics? Lots of possibilities!!

What

 

can

 

you

 

do

 

using

 

statistics?

 

Lots

 

of

 

possibilities!!

Preparation

 

of

 

the

 

final

 

exam

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参照

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