統計学 I 演習 , 第 5 週 : 微積補講 : 演習
菅原慎矢
May 19
演習問題
以下を計算せよ
1. [x3− 2x2+ (1/3)x + 6]′ (1) 2.
∫ 3
−2
2x2dx (2)
3.
∫ 2
1
(x2− 2x + 2)dx (3)
1
a, b, cを実数とするとき、以下を証明せよ 1.
∫ a
a
f (x)dx = 0 (4)
2.
∫ b
a
f (x)dx = −
∫ a
b
f (x)dx (5)
3.
∫ b
a
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx (6)
演習問題解答
2
1.
[x3− 2x2+ (1/3)x + 6]′ = 3x2− 4x + 1/3 (7) 2.
1
2x2 = [(2/3)x3]′ なので
∫ 3
−2
2x2dx = [2 3x
3]3
−2
(8)
= 2
3[27 − (−8)] = 70/3 (9)
3.
∫ 2
1
(x2− 2x + 2)dx = [1
3x
3
− x
2+ 2x]
2
1 (10)
= (1/3)(8 − 1) − (4 − 1) + 2(2 − 1) = 4/3 (11)
3
F (x)を f(x) の不定積分の一つとする 1.
∫ a
a
f (x)dx = F (a) − F (a) = 0 (12)
2.
左辺:
∫ b
a
f (x)dx = F (b) − F (a) (13)
右辺: −
∫ a
b
f (x)dx = −[F (a) − F (b)] = F (b) − F (a) (14) 上記より、左辺と右辺が等しく、題意は示された
3.
左辺:
∫ b
a
f (x)dx = F (b) − F (a) (15)
右辺:
∫ c
a
f (x)dx +
∫ b
c
f (x)dx = F (c) − F (a) + F (b) − F (c) = F (b) − F (a)(16) 上記より、左辺と右辺が等しく、題意は示された
2