第5回演習問題 lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

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全文

(1)

統計学

I

演習

,

5

:

微積補講

:

演習

菅原慎矢

May 19

演習問題

以下を計算せよ

1. [x3 −2x

2

+ (1/3)x+ 6]′ (1)

2.

∫ 3

−2

2x2

dx (2)

3.

∫ 2 1

(x2

−2x+ 2)dx (3)

1

a, b, cを実数とするとき、以下を証明せよ

1. ∫ a

a

f(x)dx = 0 (4)

2. ∫ b

a

f(x)dx = −

∫ a

b

f(x)dx (5)

3. ∫ b

a

f(x)dx =

∫ c a

f(x)dx+

∫ b c

f(x)dx (6)

演習問題解答

2

1.

[x3 −2x

2

+ (1/3)x+ 6]′ = 3x2

−4x+ 1/3 (7)

2.

(2)

2x2

= [(2/3)x3

]′ なので

∫ 3

−2

2x2

dx = [2 3x

3]3

−2 (8)

= 2

3[27−(−8)] = 70/3 (9) 3.

∫ 2 1

(x2

−2x+ 2)dx =

[1

3x

3 −x

2

+ 2x]

2

1 (10)

= (1/3)(8−1)−(4−1) + 2(2−1) = 4/3 (11)

3

F(x)をf(x)の不定積分の一つとする 1.

∫ a

a

f(x)dx=F(a)−F(a) = 0 (12)

2.

左辺:

∫ b

a

f(x)dx=F(b)−F(a) (13)

右辺: −

∫ a

b

f(x)dx=−[F(a)−F(b)] = F(b)−F(a) (14)

上記より、左辺と右辺が等しく、題意は示された 3.

左辺:

∫ b a

f(x)dx=F(b)−F(a) (15)

右辺:

∫ c a

f(x)dx+

∫ b c

f(x)dx=F(c)−F(a) +F(b)−F(c) = F(b)−F(a)(16)

上記より、左辺と右辺が等しく、題意は示された

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