Homework 1
稲葉 大
2010 年 05 月 21 日
提出は3 週間後の 6 月 10 日（木），講義中に提出すること．解答は，できるだけ丁寧に書き， 途中の計算プロセスなども記述すること．提出にはA4 の用紙を用い，ホチキス等で綴じること． 問題について，不明なことがある場合には，遠慮なくメール等で質問すること．
e-mail: big.rice.plant.leaf@gmail.com
準備
代替の弾力性（elasticity of substitution）とは，
まず，技術的代替率(rate of technical substitution，RTS) を定義する．生産関数を Y = F (K, EL) とするとき，これを全微分すると，
dY = ∂F
∂KdK + E
∂F
∂ELdL
⇔dY = M P K × dK + M P L × dL
ここで，算出量が一定である等量曲線に沿って(K, L) が変化したとすると， 0 = M P K × dK + M P L × dL
⇔dK dL = −
M P L M P K
が得られる．技術的代替率(rate of technical substitution，RTS) は RT S = M P L
M P K
と定義される．定義からRTS とは，生産の等量曲線の傾きを表している．
代替の弾力性σ（elasticity of substitution）とは，等量曲線の曲率（curvature）のことをいう． すなはち，産出を固定したとき，RTS の 1%変化に対して，投入の比率 (KL) が何%変化するかを表
したものである1．よって次のように定義できる．
(1) σ = −
d(KL)
K L
dRT S RT S
= −d log (K
L
) d log RT S
この準備を踏まえて以下の問いに答えなさい．
1 コブ＝ダグラス生産関数 (Cobb=Douglas production func-
tion)
コブ＝ダグラス型生産関数Yt = Kα(EL)1−αが，以下の問いに答えなさい．A は定常な技術水 準を表し，E は成長していく効率水準を表すために用い，正の実数である（講義資料と若干変更 しているところに注意が必要）．またα は 0 < α < 1 で，一定である．投入する生産要素である 資本K と労働 L は正の実数である．
(a) 規模に関して収穫一定 (constant return to scale) であることを示しなさい．(1 point) (b) 資本の限界生産力 (MPK) が正であることを示しなさい．(1 point)
(c) 労働の限界生産力 (MPL) が正であることを示しなさい．(1 point)
(d) 資本について，資本の限界生産力が低減することを示しなさい．(1 point) (e) 労働について，労働の限界生産力が低減することを示しなさい．(1 point) (f) Y = M P K × K + M P L × L が成立していることを確認しなさい．(1 point)
(g) 代替の弾力性 σ（elasticity of substitution）が 1 であることを示しなさい．(1 point)
2 CES 生産関数 (constant elasticity of substitution produc-
tion function)
代替弾力性(elasticity of substitution) が一定という特徴を持つ CES 関数 (2) Yt={αK−ϵ+ (1 − α)L−ϵ}−1ϵ
を考える．ただし0 < α < 1，ϵ ̸= 0 かつ ϵ > −1 で一定である．このとき以下の問いに答えなさ い．投入する生産要素である資本K と労働 L は正の実数である．
(a) 規模に関して収穫一定 (constant return to scale) であることを示しなさい．(1 point)
1
競争的企業の利潤最大化行動より，M P K= r，M P L = w である．r と w はそれぞれ実質レンタル料，実質賃 金である．このとき，RT S=
r
wであるから，代替の弾力性（elasticity of substitution）は，産出を固定したときの 要素価格比
r
wが1 ％変化したときに，投入の比率が何％変化するかを表したものであるともいえる．
(b) 資本の限界生産力が正であることを示しなさい．(1 point) (c) 労働の限界生産力が正であることを示しなさい．(1 point)
(d) 資本について，資本の限界生産力が低減することを示しなさい．(1 point) (e) 労働について，労働の限界生産力が低減することを示しなさい．(1 point) (f) Y = M P K × K + M P L × L が成立していることを確認しなさい．(1 point)
(g) 代替の弾力性 σ（elasticity of substitution）が一定であることを示しなさい．(1 point) (h) ϵ → 0 にするとき，CES 生産関数が，極限としてコブ＝ダグラス型生産関数になることを示
しなさい．(1 point)
（ヒント: ロピタルの定理を用いる. ロピタルの定理とは，limz→bh(z) = 0，limz→bg(z) = 0 であるとき，
z→blim h(z) g(z)
が
0
0となり定義できない．しかし，
z→blim h′(z) g′(z) = z
∗
であれば(z∗は定数)，
z→blim h(z) g(z) = z
∗
であるというものである．)
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3 x(t) = e
0.05t, z(t) = e
0.01t, w(t) = e
0.03tとするとき， y(t) の成長
率を求めなさい． ( 各 1 point)
3.1 y = x
3.2 y = z
3.3 y = w
3.4 y = xz
3.5 y = wxz
3.6 y =
xz3.7 y =
wx× z
3.8 y = x
βw
1−β, where β = 0.3
3.9 y = x
αw
βz
１−α−β, where α = 0.3 and β = 0.6
3.10 y = (x/z)
α, where α = 0.9
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微分方程式入門
以下では，入門的な微分方程式を解説する．解説を読んで，最後にある問いに答えてること．解 説を読み，問題を解くこと．非線形の微分方程式は，一般には解析的に解けない．しかし，特殊 なケースについては解くことができる．ここでは一階の線形微分方程式の簡単なケースを紹介す る．一階線形微分方程式は，
dyt
dt + utyt = wt
の形をとり，u も w も時間 t の関数で，その関数の形は分かっているとする．微分方程式を解く とは，y(t) という時間 t についての関数を求めることをいう．以下もう少し簡単なケースを紹介 する．
同次の微分方程式
utとwT が定数で，ut= a,wT = 0 のとき， (3) dyt
dt + ayt= 0
ただしa はゼロでない定数，この微分方程式はゼロの定数項をもつから同次であるという．3 を変 形すると
(4)
dyt
dt
yt
= −a
とも書ける．これはytの成長率が−a であることを意味する．よって，問 3 から微分方程式の一 般解y(t) は，
(5) y(t) = Ae−at
と分かる．今定数A は任意の定数．定数 A の値がいくつになるかを知るには，もう一つ初期条件 が必要となる．初期条件y(0) = y0を与え，初期値y0はt = 0 のときの y(t) の値で，ある特定の 定数する．この条件が与えられると，
y(0) = Ae−a×0 = y0
⇔A = y0
と，A の値を特定化できる．よって，特定解 (6) y(t) = y0e−at
が得られる．この関数y(t) は，初期値 y0をスタート地点として，時間とともに成長率−a でどん どん減少して0 に近づいていくという経路をたどる．
非同次の微分方程式
次のような微分方程式を非同次の微分方程式と呼びます．b ̸= 0 として， (7) dyt
dt + ayt= b
この方程式の解は二つの項の和から成り立つ．つまりy(t) = yc+ yp. 一つは補助関数 ycと呼ば
れ，もう一つは特殊積分ypと呼ばれる．補助関数は，上で議論した同次の微分方程式の一般解に なっており，
(8) yc = Ae−at
である．A は任意の定数．一方，ypについて議論する．解となるy(t) のうち，最も単純なものと して，y が定数であるケースを考えてみよう．y が定数で変化しないため，変化率 dydt = 0 より，
0 + ay = b
⇔y = b
a (a ̸= 0)
である．つまりa ̸= 0 であるかぎり，定数の解が存在し，そのときには， (9) yp = b
a
s である．よって， y(t) = yc+ yp
⇔y(t) = Ae−at+ b a
が(7) の一般解となる．A は任意．
確定解を求めるには，初期条件y(0) = y0の下で， y(0) = Ae−a×0 + b
a
= A + b a
⇔y0 = A + b a
⇔A = y0−
b a
以上から，微分方程式(7) の解は， (10) y(t) = (y0−
b a)e
−at
+ b a ただし，ここでa = 0 のとき，b
aが定義できず，この公式がつかえない．しかし dyt
dt = b の両辺を積分すれば，
y(t) = bt + c と解くことができる．c は任意の定数．
例１．
初期条件y(0) = 10 として，dydtt + 2yt= 6 を解く．(10) より，a = 2，b = 6 とおくと， y(t) = (10 − 3)e−2t+ 3 = 7e−2t+ 3
例２．
初期条件y(0) = 1 として，dydtt + 4yt = 0 を解く．(10) より，a = 4，b = 0 とおくと， y(t) = (1 − 0)e−4t+ 0 = e−4t
検算
微分方程式の解が，きちんと解になっていることを検算する． (11) dyt
dt + ayt= b の解は，
(12) y(t) = (y0− b a)e
−at
+ b a
であるから，解(16) をもとの微分方程式 (11) に代入すれば，等式が成立するはず．まず解 (16) を t について微分して，dydtt を求める．
(13) dyt
dt = −a(y0− b a)e
−at
(16) と (13) を，(11) の左辺に代入すると，
左辺 = −a(y0− b a)e
−at
+ a {
(y0−
b a)e
−at
+ b a
}
= b
= 右辺
となる．これで(11) の等式が満たされていることが示され，(16) が微分方程式 (11) の解と成って いることが確認できた．
微分方程式の動き
(14) dyt
dt + ayt= b を
(15) dyt
dt = −ayt+ b
と書いてみると，ytの変化分は，「今のytのうちa の割合だけ減り，b だけ増える（−ayt+ b）．」と 読むことができる．このままでは少し分かりにくいので，微分方程式の解を用いてその動きを考 えて見ます．解は，
(16) y(t) = (y0−
b a)e
−at
+ b a
です．いくつかのケースに分かれる．
1. a > 0 のとき．第一項は変化率 −a < 0 で変化し，変化率が負であるから減少し，ゼロに近 づいていく．第2 項は定数．y(t) は，y0をスタート地点として，変化率a で減少し，時間と ともにb
aに近づいていくという関数になる．
2. a = 0 のとき．第一項は変化率 0 で不変．第 2 項は定数．y(t) は，y0をスタート地点として， そのまま一定．
3. a < 0 のとき．第一項は変化率 −a > 0 で変化し，変化率が正なので増えていく．第 2 項は 定数．y(t) は，y0をスタート地点として，変化率−a > 0 で増加し，時間とともに発散して いくという関数になる．
ベルヌーイの式
非線形の微分方程式は一般には解析的には解けないが，解ける例の一つがこのベルヌーイの式 である．
(17) dyt
dt + Ryt= T y
n t
R，T は任意の定数とする (t の関数とすることも可能)．n は，0 と 1 以外の任意の定数とする（n が0 や 1 のときは，既に上で考察済み）．この式を以下のように変形すると，線形の微分方程式と して扱うことが可能になる．両辺をytnで割りると，
(18) yt−ndyt dt + Ry
1−n
t = T.
ここで，zt= yt1−nと置く．ztをt で微分すると， (19) dzt
dt = (1 − n)y
−n t
dyt
dt
これらを用いて(18) を変形すると， 1
1 − n dzt
dt + Rzt= T (20)
⇔ dzt
dt + (1 − n)Rzt= (1 − n)T (21) これは，変数がz となっているものの，一階線形微分方程式に他ならず，(7) より，初期条件 z(0) = z0 のもとで，
z(t) = (z0− R T)e
−(1−n)Rt
+R T と解くことがでる．zt= y1−nt より，
y(t)1−n = (y1−n0 − R T)e
−(1−n)Rt
+R T となる．
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4 次の各微分方程式の確定解を求なさい． (1 point each)
4.1
dydtt+ 4y = 8, y(0) = 2
4.2
dydtt+ 10y = 15, y(0) = 0
4.3
dydtt− 2y = 0, y(0) = 3
4.4 2
dydtt+ 4y = 6, y(0) = 1
4.5
dydtt= 15, y(0) = 1
4.6
dydtt− y = 0, y(0) = 10
数学についての参考文献
「現代経済学の数学基礎〈上・下〉」 A.C. チャン (著) シーエーピー出版
「オイラーの贈物―人類の至宝eiπ = −1 を学ぶ」 吉田 武 (著) ちくま学芸文庫 など
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