Classes Yutaka Matsuno's Homepage 20160715

応用統計 第 ₁₂ 回

仮説検定 ₍₂₎

応用情報工学科

准教授 松野 裕

http://matsulab.org

2016 年 7 月 15 日

連絡

• 7^月29^日(^金)2^限、342教室で期末試験を行う。 – A4^の紙2枚持ち込み可（手書きに限る）。

– 計算機の持ち込み可。ネットワークへの接続は不可。

– 試験範囲は中間試験より後の内容（推測統計）。試験時間は₆₀分。

1 ^{前回の演習について}

1においてもし被験者数が_{n = 10}人であった場合₍標本平均、標本分散は変わらず_{X = 2, s}²_{= 6.5}とす る₎、_{t = s/√n}^X−µ ₌√ ²

6.5/^√10 ^{= 2.48069、t0.1}(9) = 1.833^となりt^{の値は棄却域にあり、}帰無仮説を棄却できる。 問題_1,2とも帰無仮説を棄却することができなかったが、これは帰無仮説を否定することができる十分な データがなかったに過ぎず、積極的に帰無仮説を支持しているわけではない。

検定を行い、帰無仮説を棄却できない、できるという結果を得たとしても、当然その結果が_100%正しいと は限らない。帰無仮説が間違っているにも関わらず、棄却できなかったり、正しいのにも関わらず、棄却して しまうこともありうる。検定を行う際には、これら₂通りの誤りの可能性をできるだけ小さくする必要があ る。本授業では詳しく扱わないが興味があれば調べてほしい。

2 ^{母平均（母分散既知）} 、母分散、母比率の検定

2.1 ^母平均 ( ^{母分散既知} ) ^の検定

母分散既知の場合、_{z = σ/√n}^X−µ が標準正規分布に従うことから、これを検定統計量として検定を行える。

• ^帰無仮説 H0: µ = µ0

• ^{対立仮説検定統計量}z = ^X−µ_σ/√n^{0 を計算する。}

– H1: µ ̸= µ0両側検定となる。棄却域は_{|z| > z}^α

2

– H1: µ < µ0左側検定となる。棄却域は_{z < −z}^α

2

– H1: µ > µ0右側検定となる。棄却域は_{z > z}^α

2

2.2 ^{母分散の検定}

帰無仮説_{H0: σ}²_{= σ}²₀の検定は標本不偏分散_s²による検定統計量： χ²=^{(n − 1)s}

2

σ² に_{σ = σ0}を代入して行われる。

• ^対立仮説 H1: σ²̸= σ₀^{2の場合、}

χ²_1−α/2(n − 1) < χ²< χ²_α/2(n − 1)

の時は_H0は棄却せず、それ以外は棄却する。

• ^対立仮説 H1: σ²< σ₀^{2の場合、左片側検定}

χ²< χ²_1−α(n − 1)

のとき_H0を棄却し、それ以外は棄却しない。

• ^対立仮説 H1: σ²> σ₀^{2の場合、右片側検定}

χ²> χ²_α(n − 1)

のとき_H0を棄却し、それ以外は棄却しない。 例題 能力のばらつきの検定

ある小学校では入学時に知能テストを行っていたが、従来は平均₅₀で分散₃₆であった。本年度の児童に ついて₂₅人をランダムに選び、例年と同じ条件でテストしたところ、平均₅₃で分散₄₈を得た。本年度は児 童の揃い方（ばらつき）が例年と違うと見てよいか。

• ^帰無仮説 H0: σ²= 36

• ^対立仮説 H1: σ²̸= 36

有意水準を_10%で両側検定を行う。

χ²= ^{24 · 48} 36 ^{= 32}

χ²_0.95(24) = 13.848^、χ²_0.05(24) = 36.415^{であるから}H0は棄却されない。本年度の児童の質の揃い方が特に 例年と変わっているとはいえない。分散が大きいことが特別の対応を要するときは、対立仮説を_{H1: σ}²_{> 36} とすればよい。

2.3 ^{母比率の検定}

内閣支持率の調査のように、母集団が十分に大きく、母集団が_{p : 1 − p}で_{A, B}二つのグループに分かれて いる場合に、それから大きさ_nの標本を無作為に抽出するとき、_Aに属するもの（たとえば内閣を支持する人 数）の数の確率変数を_Xとすれば、_Xは₂項分布に従う。

P (X = x) =nCx p^x(1 − p)^n−x

E(X) = np^であり、q = 1 − p^とするとV (X) = npqである。標本の大きさが大きい場合、中心極限定理よ り、正規分布N (np, npq)に従うと見なせる。標本比率_X/nは、

E(^X n^{) =}

1

n^{E(X) = p} V (^X

n^{) =} 1

n^{2V (X) =} pq

n を満たし、正規分布_{N (p,}

pq

n⁾に従う。これを正規化した Z =

X n ^{− p}

√pq n

=

X n ^{− p}

√p(1−p) n

を統計検定料として、検定を行う。帰無仮説、対立仮説、棄却域の設定は、平均の検定などと同様である。 例題_1. ある政党の支持率は昨年度_55%であった。今年、無作為に抽出した有権者₁₀₀人に聞き取り調査 を行ったところ、₆₄人が支持すると答えた。支持率は昨年度より上昇したと言えるか、_5%の有意水準で検定 せよ。

• ^帰無仮説 p = 0.55

Z =

X n ^{− p}

√p(1−p) n

=

64 100^{− 0.55}

√0.55(1−0.55) 100

• (^右側)^対立仮説 p > 0.55

Z =

X n ^{− p}

√p(1−p) n

=

64 100^{− 0.55}

√0.55(1−0.55) 100

= 1.81

Z0.05 = 1.64^より、1.81 > 1.64より、棄却域にあり、帰無仮説は棄却される。よって、支持率は昨年度より 上昇したといえる。

3 χ

^{分布による適合性検定}

χ^{2分布は、}χ^2検定（「検定」については後の講義で説明する）でよく使われる。_χ²検定とは

観測されたデータの分布は、理論値の分布とほぼ同じと見なせるだろうか？

ということを示すための検定である。例を３つ示す^*1。

•^{（例１）通行人}100人を無作為に抽出したら男：女の比率が_59:41だった。これは「男女比が_1:1の集 団から、ランダムに抽出された₁₀₀人である」と言えるか。（このくらいのバラつきは普通にあること なのか？それとも近くにあるお店などの影響で、そもそも男性の多い場所と判断できるか？）

•^{（例２）サイコロを}120回ふったら、出た目がそれぞれ₁の目₂₅回、₂の目₂₇回、₃の目₂₀回、₄の目 10^回、5^の目13^回、6^の目25回だった。このサイコロは歪んでいると言えるか。（このくらいのバラ つきは、普通のサイコロでも起こることなのか？それとも、やはり、このサイコロが歪んでいるのか？）

*1http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20111202/p1

•（例３）日本人の血液型の割合は_A型_40%,B型_20%,AB型_10%,O型_30%である。ある学校の生徒 100^{人の血液型は}A^型40^人,B^型28^人,AB^型12^人,O^型26^{人だった。}「この学校の生徒の血液型分布 は，日本人全体の血液型分布とほぼ同じである」と言えるか。（このくらいの血液型のバラつきは普通 なのか？それとも、この学校には（なぜかわからないけど）_B型の生徒が多くいると判断してよいか？） これらを_χ²分布を用いて示すことができる（証明などは余裕があればぜひ調べて欲しい）原理は、

∑_{(O − E)}² E

が_χ²分布に従うことである。ここで_Oは「観測された_(Observed)」、_Eは理論によって「予測された₍期待

された_)Expected」の意味である。サイコロの例を用いて、手順を示す。

1. 次の様な表を用意する。

サイコロの目 _{O E (O − E) (O − E)}^{2 (O−E)}

2

E

1 2 3 4 5

6 

2. Oに実際に出た回数を記入する。

3. Eに、理論的に期待される値を記入する。₁₂₀回振ったのだから、理論的には、それぞれの目は₂₀回 出るはずである。

4. O − E, (O − E)²の値をそれぞれ埋める。その結果下の様になる。

サイコロの目 _{O E (O − E) (O − E)}^{2 (O−E)}

2

E

1 25 20 5 25 1.25

2 27 20 7 49 2.45

3 20 20 0 0 0

4 10 20 -10 100 5

5 13 20 -7 49 2.45

6 25 20 5 25 1.25

5. 右端の値の合計を求める。これが_χ²値になる。今回は

1.25 + 2.45 + 0 + 5 + 2.45 + 1.25 = 12.4

6. χ²分布の自由度を求める。_χ²検定の自由度は、「カテゴリー」から１を引いた数である。サイコロの 目の場合、目の種類がカテゴリーである。よって自由度は₅である。

7. ^自由度5^の時、χ^2値12.4^{がどれだけ珍しいか、}5%^{の確率（有意水準}5%^）の時のχ^2値χ²_0.05(5) = 11.0705と比較する。この場合、11.0705 < 12.4^だから、5%の確率よりも低い確率であることが分か る。よって、このような目がでるサイコロは、正しいサイコロである可能性は極めて低いことがわかる。

4 χ

^{分布による独立性検定}

χ²分布は母分散についてのいろいろな検定に用いられたが、広く_“ばらつき_”についての検定の基準として も、近似的に用いられる。_χ²分布の紹介として、適合度の検定を紹介した。今回は、独立性の検定について 説明する。

n個の個体に対して、二つの異なる属性_{A, B}（例えば_Aとして性別、_Bとして車を所有しているかどうか など）を同時に測定したとする。_Aは_A1, . . . , Ar^、B ^はB1, . . . , Bcのカテゴリーに分割されているとする。 例をあげる。表₁はある大学の工学部の代数と解析の期末試験の成績である。縦軸は代数の成績の優、良、可 の人数、横軸は解析の優、良、可の人数を示している。例えば、全受講生₄₂名のうち、代数が優で、解析が 良の学生は₂名いることがわかる。このような表を分割表という。このような分割表において、独立とは、

表₁ ある大学の工学部の期末試験の成績

代数₍下₎ 解析（右） 優 良 可 計

優 _{4 2 3 9}

良 _{8 4 6 18} 可 _{6 3 6 15} 計 _{18 9 15 42}

P (Ai∩ Bj)^{の各確率に対して、}

H0:^すべてのi, j ^に対しP (Ai∩ Bj) = P (Ai)P (Bj)

であることを言う。_H1はこの否定である。要するに、_{Ai, Bj}は互いの起こり方に影響し合わない。_Aiの方 から見れば、_{P (Ai|Bj) = P (Ai)}である。_H0が成り立つ場合の理論値に基づく分割表を作ってみる。それが 表₂である。_χ²による独立検定は、実際の分割表が、理論値に基づく分割表に有意に差があるかを検定する。 例えば、代数、解析ともに優である確率を_H0が成立するとして計算する。代数が優である確率_{P (A優)}は

表₂ 表₁の理論度数

代数₍下₎ 解析（右） 優 良 可 計 優 _{3.86 1.93 3.21 9} 良 _{7.71 3.86 6.43 18} 可 _{6.43 3.21 5.36 15} 計 _{18 9 15 42}

9

42^{、解析が優である確率P (B優)は} 18

42 ^{である。H0が正しければ、}

P (A優∩ B優) = P (A優)P (B優) = ⁹ 42^·

18 42 である。全受講生は₄₂名であるから、理論度数は

9 42^·

18 42^{· 42 =}

9 · 18 42 ^{= 3.86}

となる。これを一般化して、_H0を仮定した場合の、_{P (Ai∩ Bi)}の理論度数は

|Ai| · |Bj| n

で与えられる。ここで_{|Ai|, |Bj|}はそれぞれ_{Ai, Bj}の個数である。独立性検定は、_χ²による適合性検定で用 いた

χ²=^{∑(O − E)}

2

E

が_χ²分布に従うことを利用する。独立性検定の場合、_Oが得られた分割表、_Eが理論度数に基づく分割表で ある。この例では

χ²= (4 − 9 · 18/42)² 9 · 18/42 ⁺

(2 − 9 · 9/42)²

9 · 9/42 ^{+ · · · +}

(6 − 15 · 15/42)² 15 · 15/42 ^{= 0.19}

となる。これと棄却域となる_χ²分布の値と比較する。自由度は₍縦のカテゴリ数_{− 1) · (}横のカテゴリ数_{− 1)} で与えられる。この場合、(3 − 1) · (3 − 1) = 4^{となる。有意水準を}5%^{とすると、}χ²_0.05(4) = 9.488^である。 0.19 < 9.488^より、H0は棄却されない。すなわち、有意水準_5%で、代数と幾何の成績の独立性の仮説は棄 却されず、両者に関係があるとは言えない。