計量経済学 #02 ・復習問題解答
担当：鹿野（大阪府立大学） 2013 年度後期
復習問題
証明問題については、 やや詳しく記述しています。
1. 確率変数Xの分散Var(X)は、期待値E(X)を軸としたXの（実現値の）バラつきの大き
さを測る。
2. 期待値：確率変数Xを標準化するとZ = X√− E(X) Var(X)
。Zの期待値E(Z)は、Xだけが確率変 数であること、 および期待値の公式を使って
E(Z) = √ 1
Var(X)E [X − E(X)] = √ 1
Var(X)[E(X) − E(X)] = 0. (1) 分散：分散Var(Z)は、分散の定義およびE(Z) = 0よりVar(Z) = E
(Z − 0)2= E(Z2)。こ の右辺にZの定義を代入・変形し、期待値の公式を使うと
Var(Z) = E
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
X− E(X)
√Var(X)
2⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦= E
(X− E(X))2 Var(X)
= 1 Var(X)E
(X − E(X))2. (2)
ここで右辺に現れるE
(X − E(X))2は、Xの分散Var(X)に他ならない。よって
Var(Z) = 1
Var(X)Var(X) = 1. (3)
(a) 補足：期待値の公式を当てはめる順番は、他にも考えられます。慣れないうちは、す でに期待値を取った部分をm = E(X)、v = Var(X)と置くなどすると、 確率変数と定 数の混乱がなくなるでしょう。
(b) 補足：ある確率変数Wの期待値がE(W) = 0ならば、分散の定義より常にVar(W) = E(W2)と書ける。
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