補足資料 数理統計 2016 S1・S2 Kengo Kato

2016.7.4. 加藤賢悟 宿題 7 問題 1 (b) の解答例の補足

宿題7 問題1 (b)の解答例の表現が正確とは言い難いので次のように補足します．

(1). bθはX¹, . . . , Xn _{∼ Mn(1, θ}², 2(1 − θ), (1 − θ)^{2) i.i.d.にもとづくMLEとみなせて，} M n(1, θ², 2θ(1 − θ), (1 − θ)²⁾のフィッシャー情報量が

I(θ) = ² θ(1 − θ) であることから，

√n(b_{θ − θ)→ N}^d (

0,^{θ(1 − θ)} 2

)

となる．

(2). または次のように，もっと直接に^√n(b_{θ − θ)}の極限分布を導出することもできます (こっちの解答例の方を念頭に置いていました)．X1, . . . , Xn_{∼ Mn(1, θ}², 2θ(1 − θ), (1 − θ)²⁾ i.i.d.に対して，

Y = X^d 1+ · · · + Xn

であるから，X_i= (X_i,1, X_i,2, X_i,3)^′, W_i = (2X_i,1+ X_i,2)/2とおくと，

θb=^{d 1} n

∑n i=1

W_i= W

となる．ここで，

E_θ[Wi] = ¹ 2^{2θ

2+ 2θ(1 − θ)} = θ,

Varθ(Wi) = Varθ(Xi,1) + Covθ(Xi,1, Xi,2) +¹

4^Varθ(Xi,2)

= θ²_{(1 − θ}²_{) − 2θ}³_{(1 − θ) +} ¹

2θ(1 − θ){1 − 2θ(1 − θ)}

= ¹

2^{θ(1 − θ)} だから，CLTより，

√n(W − θ)→ N^d (

0,^{θ(1 − θ)} 2

)

を得る．

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