第14回演習問題 lecture Shinya Sugawara（菅原慎矢）

統計学 ^I 演習 ^, 第 ¹⁴ 週 ^: 推定演習

菅原慎矢

July 21

演習問題

分布表は巻末に添付してある

1 _点推定

{X1, ..., Xⁿ}を母平均 µ, 母分布 σ²の母集団からの大きさ n(> 1) の無作為標本とする。 母平均 µ の推定問題を考える。今推定量として、T¹(X) = ¯^{X, T2}(X) = X^{1, T3}(X) = X¹+ X²の三つを考える時、以下の問いに答えよ

• E[T¹(X)], E[T²(X)], E[T³(X)]を求めよ

• 不偏性を持つ推定量はどれか

• T¹, T²のうち効率的な推定量はどちらか

• T¹, T², T³の MSE を求め, 大小を比較せよ

2 _区間推定

{X¹, ..., X²¹}を, 母分布 N(2, 4) からの大きさ 21 の無作為標本とする. ¯X, S²を標本平 均・標本分散とする. ルートはルートのままでよい。通分もしないでよい

1. 母分散 4 が既知であると仮定する時、母平均 µ について、信頼係数 0.90 の信頼区 間を構成せよ

2. 母分散が未知であると仮定する時、母平均 µ について、信頼係数 0.90 の信頼区間 を構成せよ

3. 母分散 σ²について、信頼係数 0.90 の信頼区間を構成せよ

3 _{実際の推定}

{x¹, ..., x⁵} = {3.4, 6.5, 2.6, 1.2, 1.7}を母分布 N(µ, σ²)からの大きさ n = 5 の無作為標本 とする。以下 ¯X, S²を標本平均、標本分散とする。ルートはルートのままでよい

1. 統計量 ¯Xの観測値 ¯x を求めよ。なお、統計量 S²の観測値について s² = 4.367で あることを以下用いて良い

2. σ² = 4が既知だとする。この時母平均 µ について、信頼係数 0.99 の信頼区間を構 成せよ。

3. σ²が未知だとする。この時母平均 µ について、信頼係数 0.99 の信頼区間を構成せよ 4. 母分散 σ²について、信頼係数 0.95 の信頼区間を構成せよ。通分はしないでよい

1 _解答

1 _点推定

1. E[T¹(X)] = µ, E[T²(X)] = E(X^{1) = µ, E[T3}(X)] = E(X^{1) + E(X2) = 2µ} 2. T¹_{(X) と T}²_(X)

3. V [T¹_{(X)] = σ}²/n, V [T²_{(X)] = σ}². n > 1より、V [T¹(X)] < V [T²(X)] となり、 T¹_{(X) が効率的}

4. MSE

• T¹: 不偏性を持つので MSE は分散となり、σ²/n

• T²: 不偏性を持つので MSE は分散となり、σ²

• T³: 不偏性を持たないので MSE は分散 + バイアス二乗となる。分散は, X¹と X²が独立なので V (X¹+X²) = V (X¹)+V (X²) = 2σ². バイアスは 2µ−µ = µ となり、MSE は 2σ²+ µ².

• σ²/n < σ² < 2σ² + µ²であり、T³, T², T¹の順で MSE が大きい

2. T ∼ t(20)のとき、t^0.05を P (−t^0.05 ≤ T ≤ t^0.05) = 0.90をみたすものとすると、分 布表より t^0.05 = 1.72. 信頼区間は

[ ¯_{X − t0.05√S}²_{/n, ¯X + t0.05√S}²_/n^] ₌[ ¯_{X − 1.72√S}²_{/21, ¯X + 1.72√S}²_/21^] ₍₂₎ (配付資料訂正: 符号間違い)

3. U ∼ χ²(20)の時、0.050 = P (U ≥ U^0.050)となる U^0.050は 31.41, 0.950 = P (U ≥

U^0.950)となる U^0.950は 10.85。 もとめる信頼区間の推定値は

[_{(n − 1)S}² U^{0.050 ,}

(n − 1)S² U^0.950

]=^[20S

2

31.41^, 20S² 10.85

] (3)

3 _{実際の推定}

1. 3.08

2. 0.99 = P (−z^0.005 ≤ Z ≤ z^0.005)となる z^0.005は 2.575. もとめる信頼区間の推定値は [¯x − z^0.005√4/5, ¯x + z0.005√4/5] = [3.08 − 2.575√4/5, 3.08 + 2.575√4/5] (4) (配付資料訂正: 符号間違い)

3. T ∼ t(4)の時、0.99 = P (−t^0.005 ≤ T ≤ z^0.005)となる z^0.005は 4.60. もとめる信頼 区間の推定値は

[¯x−t^0.005√s²/n, ¯x+t^0.005√s²/n] = [3.08−4.6√4.367/5, 3.08+4.6√4.367/5] (5) (配付資料訂正: 符号間違い)

4. U ∼ χ²(4)の時、0.025 = P (U ≥ U^0.025)となる U^0.025は 11.14, 0.975 = P (U ≥

U^0.975)となる U^0.975は 0.48. もとめる信頼区間の推定値は

[_{(n − 1)s}² U^{0.005 ,}

(n − 1)s² U^0.995

]=^{[4 × 4.367} 11.14 ^,

4 × 4.367 0.48

]=^[17.468 11.14 ^,

17.468 0.48

] (6)