第14回演習問題 lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

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全文

(1)

統計学

I

演習

,

14

:

推定演習

菅原慎矢

July 21

演習問題

分布表は巻末に添付してある

1

点推定

{X1, ..., Xn}を母平均µ,母分布σ 2

の母集団からの大きさn(> 1)の無作為標本とする。

母平均µの推定問題を考える。今推定量として、T1(X) = ¯X, T2(X) = X1, T3(X) =

X1+X2の三つを考える時、以下の問いに答えよ

• E[T1(X)], E[T2(X)], E[T3(X)]を求めよ

• 不偏性を持つ推定量はどれか

• T1, T2のうち効率的な推定量はどちらか

• T1, T2, T3のMSEを求め,大小を比較せよ

2

区間推定

{X1, ..., X21}を, 母分布N(2,4)からの大きさ21の無作為標本とする. ¯X, S 2

を標本平

均・標本分散とする. ルートはルートのままでよい。通分もしないでよい

1. 母分散4が既知であると仮定する時、母平均µについて、信頼係数0.90の信頼区

間を構成せよ

2. 母分散が未知であると仮定する時、母平均µについて、信頼係数0.90の信頼区間

を構成せよ

3. 母分散σ2

(2)

3

実際の推定

{x1, ..., x5}={3.4,6.5,2.6,1.2,1.7}を母分布N(µ, σ 2

)からの大きさn = 5の無作為標本

とする。以下X, S¯ 2を標本平均、標本分散とする。ルートはルートのままでよい

1. 統計量X¯の観測値x¯を求めよ。なお、統計量S2の観測値について

s2

= 4.367で

あることを以下用いて良い

2. σ2

= 4が既知だとする。この時母平均µについて、信頼係数0.99の信頼区間を構

成せよ。

3. σ2

が未知だとする。この時母平均µについて、信頼係数0.99の信頼区間を構成せよ

4. 母分散σ2

について、信頼係数0.95の信頼区間を構成せよ。通分はしないでよい

1

解答

1

点推定

1. E[T1(X)] =µ, E[T2(X)] = E(X1) = µ, E[T3(X)] = E(X1) +E(X2) = 2µ

2. T1(X)とT2(X)

3. V[T1(X)] = σ 2

/n, V[T2(X)] = σ 2

. n > 1より、V[T1(X)] < V[T2(X)]となり、

T1(X)が効率的

4. MSE

• T1: 不偏性を持つのでMSEは分散となり、σ

2

/n

• T2: 不偏性を持つのでMSEは分散となり、σ

2

• T3: 不偏性を持たないのでMSEは分散+バイアス二乗となる。分散は,X1と

X2が独立なのでV(X1+X2) =V(X1)+V(X2) = 2σ

2

. バイアスは2µ−µ=µ

となり、MSEは2σ2

+µ2

.

• σ2

/n < σ2

<2σ2

+µ2

(3)

2. T ∼t(20)のとき、t0.05をP(−t0.05 ≤T ≤t0.05) = 0.90をみたすものとすると、分

布表よりt0.05 = 1.72. 信頼区間は

[

¯

X−t0.05 √

S2

/n, X¯+t0.05 √

S2

/n] =[X¯−1.72√S2

/21, X¯+ 1.72√S2

/21] (2)

(配付資料訂正: 符号間違い)

3. U ∼ χ2

(20)の時、0.050 = P(U ≥ U0.050)となるU0.050は31.41, 0.950 = P(U ≥

U0.950)となるU0.950は10.85。 もとめる信頼区間の推定値は

[(n−1)S2

U0.050

, (n−1)S

2

U0.950 ]

=[20S

2

31.41, 20S2

10.85

]

(3)

3

実際の推定

1. 3.08

2. 0.99 =P(−z0.005 ≤Z ≤z0.005)となるz0.005は2.575. もとめる信頼区間の推定値は

[¯x−z0.005 √

4/5, x¯+z0.005 √

4/5] = [3.08−2.575√4/5, 3.08 + 2.575√4/5] (4)

(配付資料訂正: 符号間違い)

3. T ∼t(4)の時、0.99 =P(−t0.005 ≤ T ≤z0.005)となるz0.005は4.60. もとめる信頼

区間の推定値は

[¯x−t0.005 √

s2

/n, x¯+t0.005 √

s2

/n] = [3.08−4.6√4.367/5, 3.08+4.6√4.367/5] (5)

(配付資料訂正: 符号間違い)

4. U ∼ χ2

(4)の時、0.025 = P(U ≥ U0.025)となるU0.025は11.14, 0.975 = P(U ≥

U0.975)となるU0.975は0.48.もとめる信頼区間の推定値は

[(n−1)s2

U0.005

, (n−1)s

2

U0.995 ]

=[4×4.367 11.14 ,

4×4.367 0.48

]

=[17.468 11.14 ,

17.468 0.48

]

(4)
(5)
(6)

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参照

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