統計学
I
演習
,
第
14
週
:
推定演習
菅原慎矢
July 21
演習問題
分布表は巻末に添付してある
1
点推定
{X1, ..., Xn}を母平均µ,母分布σ 2
の母集団からの大きさn(> 1)の無作為標本とする。
母平均µの推定問題を考える。今推定量として、T1(X) = ¯X, T2(X) = X1, T3(X) =
X1+X2の三つを考える時、以下の問いに答えよ
• E[T1(X)], E[T2(X)], E[T3(X)]を求めよ
• 不偏性を持つ推定量はどれか
• T1, T2のうち効率的な推定量はどちらか
• T1, T2, T3のMSEを求め,大小を比較せよ
2
区間推定
{X1, ..., X21}を, 母分布N(2,4)からの大きさ21の無作為標本とする. ¯X, S 2
を標本平
均・標本分散とする. ルートはルートのままでよい。通分もしないでよい
1. 母分散4が既知であると仮定する時、母平均µについて、信頼係数0.90の信頼区
間を構成せよ
2. 母分散が未知であると仮定する時、母平均µについて、信頼係数0.90の信頼区間
を構成せよ
3. 母分散σ2
3
実際の推定
{x1, ..., x5}={3.4,6.5,2.6,1.2,1.7}を母分布N(µ, σ 2
)からの大きさn = 5の無作為標本
とする。以下X, S¯ 2を標本平均、標本分散とする。ルートはルートのままでよい
1. 統計量X¯の観測値x¯を求めよ。なお、統計量S2の観測値について
s2
= 4.367で
あることを以下用いて良い
2. σ2
= 4が既知だとする。この時母平均µについて、信頼係数0.99の信頼区間を構
成せよ。
3. σ2
が未知だとする。この時母平均µについて、信頼係数0.99の信頼区間を構成せよ
4. 母分散σ2
について、信頼係数0.95の信頼区間を構成せよ。通分はしないでよい
1
解答
1
点推定
1. E[T1(X)] =µ, E[T2(X)] = E(X1) = µ, E[T3(X)] = E(X1) +E(X2) = 2µ
2. T1(X)とT2(X)
3. V[T1(X)] = σ 2
/n, V[T2(X)] = σ 2
. n > 1より、V[T1(X)] < V[T2(X)]となり、
T1(X)が効率的
4. MSE
• T1: 不偏性を持つのでMSEは分散となり、σ
2
/n
• T2: 不偏性を持つのでMSEは分散となり、σ
2
• T3: 不偏性を持たないのでMSEは分散+バイアス二乗となる。分散は,X1と
X2が独立なのでV(X1+X2) =V(X1)+V(X2) = 2σ
2
. バイアスは2µ−µ=µ
となり、MSEは2σ2
+µ2
.
• σ2
/n < σ2
<2σ2
+µ2
2. T ∼t(20)のとき、t0.05をP(−t0.05 ≤T ≤t0.05) = 0.90をみたすものとすると、分
布表よりt0.05 = 1.72. 信頼区間は
[
¯
X−t0.05 √
S2
/n, X¯+t0.05 √
S2
/n] =[X¯−1.72√S2
/21, X¯+ 1.72√S2
/21] (2)
(配付資料訂正: 符号間違い)
3. U ∼ χ2
(20)の時、0.050 = P(U ≥ U0.050)となるU0.050は31.41, 0.950 = P(U ≥
U0.950)となるU0.950は10.85。 もとめる信頼区間の推定値は
[(n−1)S2
U0.050
, (n−1)S
2
U0.950 ]
=[20S
2
31.41, 20S2
10.85
]
(3)
3
実際の推定
1. 3.08
2. 0.99 =P(−z0.005 ≤Z ≤z0.005)となるz0.005は2.575. もとめる信頼区間の推定値は
[¯x−z0.005 √
4/5, x¯+z0.005 √
4/5] = [3.08−2.575√4/5, 3.08 + 2.575√4/5] (4)
(配付資料訂正: 符号間違い)
3. T ∼t(4)の時、0.99 =P(−t0.005 ≤ T ≤z0.005)となるz0.005は4.60. もとめる信頼
区間の推定値は
[¯x−t0.005 √
s2
/n, x¯+t0.005 √
s2
/n] = [3.08−4.6√4.367/5, 3.08+4.6√4.367/5] (5)
(配付資料訂正: 符号間違い)
4. U ∼ χ2
(4)の時、0.025 = P(U ≥ U0.025)となるU0.025は11.14, 0.975 = P(U ≥
U0.975)となるU0.975は0.48.もとめる信頼区間の推定値は
[(n−1)s2
U0.005
, (n−1)s
2
U0.995 ]
=[4×4.367 11.14 ,
4×4.367 0.48
]
=[17.468 11.14 ,
17.468 0.48
]
