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第 ₁₂ 回

相関 回帰

日 内容

• ^{値 タ}

• ^{値 タ 整理}

– ^散布図

– ^数分布表

• ^相関

– ^相関係数

– ^共分散

– ^{相関係数 検定}

– ^相関係数

前回 復習

• ^{金沢 均 分散}

– ^{最高気温： 均30.9、分散5.5} – ^{最 気温： 均24.2、分散3}

• ^{東京 均 分散}

– ^{最高気温： 均30.6、分散23.4} – ^{最 気温： 均24.2、分散6.8}

• ^{、最 気温 変わ 、最高気温 金沢}

方 均 _0.3 高い 分

– ^{、金沢 方 暑い?}

– ^{、0.3 く い 偶然差 出 あ ?}

– ^{偶然起 程 差 う 確認 検定}

前回 復習

• ^{検定 用い}

= ^{均 − 均}

分散

数 ₋ ⁺

分散 数 ₋

• ^{、最高気温 い}

� = ^{. − .}

. + . ^{≈ . < .}

• ^{最 気温 い}

� = ^{. − .} + .

= < .

前回 復習

• ^{い 、 90 ％ 棄却域 入 い} → ^{帰無仮説 均}

等 い ₁₀ ％水準 棄却 い

– ^{、 0.3 いう差 偶然起 確率 10％以 あ} – 10^{％ 起 ＝起 確率 あ ＝起}

、 考え あ ば₁₀％水準 棄却 い

– ^{最 気温 、 手元 タ 均 完全 一致} い 、等 く い いう仮説 検証 い

• ^{社会科学 、 10 ％ 十分 確率 い 考え 境}

界 多く、 ₁₀ ％ 超え 場合 仮説 棄却

い ほ

前回 復習

• ^{分散 比 検定}

� = ^{大 いほう 分散} 小 いほう 分散

• ^{最高気温 い}

� = . ≈ . > .^.

• ^{最 気温 い}

� = ^. ≈ . > .

• ^{、 分散 等 い いう帰無仮説 有意水準}

5 ^{％ 棄却} _→ ^{分散 差 あ 東京 方 分}

散 大 い 考え

前回 復習

• ^{結局差 あ ?}

– ^{最高気温 最 気温} → ^{有意水準 10 ％ 差}

い

– ^{分散 ば 有意水準 5% 差 あ 東京}

方 大 い _→ 東京 方 、 均

暑い日や 涼 い日 多い

– ^{、暑 あ 差 い 、東京}

方 日々 気温 変動 大 い 考え

値 タ

• ^{前回 講義 1 値 注目 、 タ 整}

理や推定 検定 い 学

– ^{例えば、 気温 業所数}

– ^{均や分散 い 複数 統計量 あ 、扱 い} 値 あく ₁

• ^{一般的 、複数 値 関係 注目 分析 行わ}

– ^{例えば、 所得 消費 関係}

– ^{目数 2 あ タ いう}

– ^{値 タ 、個々 特性 関 1個 タ 構}

成 く、 主体 い ₂ 値

タ 構成 い

値 タ 整理

• ^{一 一 値 整理 方 、 講義 同}

– ^{例 均 命 GDP 関係 い 考え}

– ^{世界全体 均 命 均や分散、GDP 均や分散 今} 同様 計算

– ^{、 均 命やGDP 地域間 格差 い 今 同} 様 計算

• ^{、 値 セッ い 意識 、}

保 う 整理 必要 あ

– ^{例 日 均 命 GDP、ア カ 均 命 GDP} 日 セッ ア カ セッ い

– ^{値 入 替え 、 日 均 命 ア カ GDP セッ} ア カ 均 命 日 _GDP セッ 作 意味

い

例 経済数学 中間試験 期 試験

• ^{経済数学 中間試験 期 試験 関係 考}

え

– ^{両方 験 い ば 人 い}

中間試験 得点 期 試験 得点 値

あ 値 タ

– ^{得点 い 、基 統計量やヒ}

グ 書く

均 標準偏差 歪 尖

中間試験 _{78.0 14.8 -0.5 2.3} 期 試験 _{76.1 19.7 -0.9 3.2}

散布図

• ^{値 タ 図示 く用い 散布}

図

– ^{値 組 合わ 面 標}

– ^{各点 1 観測値 組 合わ 表}

– ^{縦 標 横 標 数値 、 点 観測値 組 合わ} わ

• ^{場合 、同 場所 複数 点 打 必要}

あ

– ^{く同 観測値 組 合わ あ 場合} – ^{場合 、}

A) ^{無視 う点 打 い 、打 い} B) ^{点 膨 個数 合わ 点 大 く}

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 20 40 60 80 100

期試験

中間試験

散布図

値 数分布表

• ^{値 タ 一 数分布表 表わ}

– ^{値 い 区間 設け、区間 入 数 数え}

– ^{う 表 値 分布表 分割表 いう}

• ^{、行和 各行 和 列和 各列 和 計算 ば、} 1 ^{値 い 数分布表 使う}

– 1 ^{値 数分布表 同時 数分布表 作 い点 注} 意

• ^{同時 数分布表 、1 値 数分布} いう

– ^{周辺 数分布 使う 、 値 均や分散 計} 算

同時 数分布表

中間試験 期

～9 ～19 ～29 ～39 ～49 ～59 ～69 ～79 ～89 90～ 行和

期 試 験

～9 _{0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0}

～19 _{0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1}

～29 _{0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1}

～39 _{0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 3}

～49 _{0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 6}

～59 _{0 0 0 1 1 3 0 2 1 0 8}

～69 _{0 0 0 0 0 1 0 2 3 2 8}

～79 _{0 0 0 0 1 2 4 6 5 2 20}

～89 _{0 0 0 0 0 0 3 2 3 4 12}

90～ _{0 0 0 0 0 0 6 2 8 17 33}

中間 ^列和 _{0 0 0 1 2 10 15 17 21 26 92} 中間₈₀点台

期 ₇₀点台 人数 _?

相関

• ^{値 タ 値 結び 考え}

– ^{例 中間試験 得点 期 試験 得点 結び}

– ^{中間 得点 高い人 、期 得点 高い ?}

• ^{散布図 見 、右 い う 見え}

– ^{中間 得点 高い学生 、期 得点 高い}

– 1 ^{値 高け ば、 値 高く 場合 相} 関 あ いう

– 1 ^{値 高い 、 値 く 場合 相}

関 あ いう

– ^{中間試験 期 試験 間 相関 あ 考え}

共分散

• 2 ^{値 関係 表 統計量 あ}

• � ^{個 観測数} � ^{番目 観測値 1 目 値}

�

^{、 2 目 値}

^{、 均 、}

、共分散 以 式 計算

� −

�

�

⁻

⁻

• ^共分散

– ^{正 相関 あ プ}

– ^{負 相関 あ マイ}

– ^{関係 い 0}

共分散

• ^{イ 共分散 、2 値 同時 均 う 離 計算 い}

• ^{正 相関 あ 場合、 プ プ 、マイ}

マイ

– ^、 _� − _� − ^{プ ×プ ＝プ 、あ い マイ ×マイ ＝プ}

– ^{足 いけば、プ 数字}

• ^{負 相関 あ 場合、 一方 プ う一方 マイ 、}

一方 マイ う一方 プ

– ^、 _� − _� − ^{プ ×マイ ＝マイ 、あ い マイ ×プ ＝マイ} – ^{足 いけば、マイ 数字}

• ^{関係 い場合、一方 プ 、 う一方 プ あ ばマイ}

あ

– ^、 _� − _� − ^{プ ×プ ＝プ あ ば、プ ×マイ ＝マ}

イ あ

– ^{足 いく 、 互い 打 消 あ 数字 大 く い}→0 ^近く

例 経済数学 中間試験 期 試験

• ^{中間試験 均点 72.5 点、期 試験 均}

点 _68.7 点、 験者数 ₇₅ 人

• ^共分散

−

�

中間 _{− .} 期 _{− .}

= − . × − . + − .

× − . + ⋯ + − . × − .

相関係数

• ^{共分散 計算 ば、 2 値 関係 わ}

– ^{プ ば正 相関、マイ ば負 相関} – ^{関係 強いほ 、絶 値 大 く}

• ^{、単 違う 共分散 直接比べ 、}

関係 強い わ い

– ^{試験 得点 あ ば、 い い50点く い} – ^{株価 、1000や2000 通常発生}

– ^{、共分散 計算 株価 方 数値 大 く}

、 ₂国間 株価 関係 試験 得点 関係 強いわけ く、単 単 大 い け

• ^{、基準化 共分散 考え}

相関係数

• ^{基準化 計算 共分散 いう}

– 1 ^{目 値 標準偏差 、2 目 値 標準偏差 、}

� − _�=

� � ⁻ � ⁻

– ^{基準化 ば、元 数字 単 う 均0、分散1}

、数字 大 比べ 結び 強 比較

– ^{相関係数 、必 －1～1 間}

– ^{相関係数 絶 値 大 いほ 関係 強く、0 近いほ 関係 弱} い

– ^{、標準偏差 全 観測値 同 、次 式 計}

算

相関係数 ₌

共分散

×

散布図 相関

70 75 80 85 90 95 100 105 110

170 175 180 185 190 195

身長 体

重

6 7 8 9 10 11 12

0 5 10 15 20

築 数 家

賃

2 4 6 8 10 12

共分散＝_29.33 相関係数＝_0.66

共分散＝－_4.36 相関係数＝－_0.58

共分散＝_1.91 相関係数＝_0.21

例 経済数学 中間試験 期 試験

• ^{中間試験 期 試験 共分散 119 前}

イ

• ^{中間試験 標準偏差 14.8 、期 試験 標}

準偏差 _19.7

• ^{、相関係数}

. × . ≈ .

相関係数 検定

• ^{相関係数 0 い う 関係 あ う 検定} – ^{仮説 2 値 相関係数 0 あ}

– ^{仮説 2 値 相関係数 0 い}

– ^検定

• ^{検定 方 通常 同様}

– ^{相関係数 、標準誤差 以 計算}

標準誤差 ₌

−

� − – ^、 _� ^{以 う 計算}

� = ⁻

標準誤差

= � − ×

– ^{あ 、検定 大 決 棄却域 計算}− ^{、 入 う} 検定 行えば い

例 経済数学 中間試験 期 試験

• ^{計算 相関係数 0.51}

• ^{検定 仮説}

– � : =

– �

: ≠

• ^{公式 当 計算}

� = − × ^.

− . ^{= . ×}

.

. ^{≈ .}

– ^{両側検定 有意水準 1 ％ 棄却域 2.58}

– ^{、帰無仮説}

– ^{、相関係数 0 い} → ^{正 関係 あ}

相関係数

• ^{数値 直接用い く、各 目 け 、}

計算 相関係数 相関係数 いう

– ^{用い ほ 通常 相関係数 全く同 (計算方法 検定方} 法₎

– ^{イ 、 均 分 点}

• ^{極端 値 引 張 くく}

• ^{使う情報量 落 う}

• ^{例) 100、100 、 300、900 、 900、300 いう3 値 あ} – ^{通常 相関係数 －0.04}

– ^{け 、 3、3 、 2、1 、 1、2 いう3 値 相関係数}

、相関係数 _0.5

– 900 ^{いう大 数値 引 張 、全体 関係 薄く見え い}

– ^{、 当 薄い い}