物理数学 (July 12, 2012) 3次元極座標におけるラプラシアンの導出 1
§ 3 次元極座標 (r, θ, φ) におけるラプラシアン
3次元極座標(r, θ, φ)における基底ベクトルer，eθ，eφの各変数による微分をまとめる*1。
∂
∂rer= 0,
∂
∂reθ= 0,
∂
∂reφ= 0. (1)
∂
∂θer= eθ,
∂
∂θeθ= −er,
∂
∂θeφ= 0. (2)
∂
∂φer= eφsin θ,
∂
∂φeθ= eφcos θ,
∂
∂φeφ= −ersin θ − eθcos θ. (3) はじめに∇の3次元極座標表示を求めるため，位置ベクトルr= r(r, θ, φ)の全微分をとる。r= errお よびer= er(θ, φ)であることに注意すれば
dr= erdr+∂er
∂θ r dθ+
∂er
∂φr dφ= erdr+ eθr dθ+ eφrsin θ dφ (4) である。次に任意のスカラー関数f(r, θ, φ)の全微分をとる。
df= ∂f
∂rdr+
∂f
∂θdθ+
∂f
∂φdφ.
この式の右辺を(4)式で求めたdrで括れるように変形すると
df= ∂f
∂r ·dr+ 1 r
∂f
∂θ ·r dθ+ 1 rsin θ
∂f
∂φ·rsin θ dφ
= [(
er ∂
∂r + eθ 1 r
∂
∂θ+ eφ 1 rsin θ
∂
∂φ )
f ]
·dr (5)
=: (gradf ) · dr = (∇f ) · dr (6)
∴ ∇= er ∂
∂r + eθ 1 r
∂
∂θ+ eφ 1 rsin θ
∂
∂φ. (7)
この∇を使ってラプラシアン∆を計算する。任意の関数に作用することを忘れずに2乗すると
∆ := ∇2= (
er ∂
∂r + eθ 1 r
∂
∂θ+ eφ 1 rsin θ
∂
∂φ )
· (
er ∂
∂r + eθ 1 r
∂
∂θ + eφ 1 rsin θ
∂
∂φ )
= ∂2
∂r2 + 1 r
∂
∂r + 1 r2
∂2
∂θ2 + 1 r
∂
∂r + cos θ r2sin θ
∂
∂θ+ 1 r2sin2θ
∂2
∂φ2
= ∂
2
∂r2 + 2 r
∂
∂r + 1 r2
∂2
∂θ2 + cot θ
r2
∂
∂θ+ 1 r2sin2θ
∂2
∂φ2. (8)
以上により，3次元極座標表示におけるラプラシアンが決定した。
ポイントは(5)から(6)への変形。(5)式が勾配gradの定義そのものだと気付くことが重要。
参考文献
1. 砂川重信：『電磁気学演習』（岩波書店，1992年）
*1力学のプリント#3で計算した。ちなみに(2)と(3)の1番左側の式は，規格化を除いて eθ及び eφの定義そのものである。
