Laplacian in 3pole 最近の更新履歴 物理学ノート Laplacian in 3pole

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全文

(1)

物理数学 (July 12, 2012) 3次元極座標におけるラプラシアンの導出 1

§

3

次元極座標

(

r, θ, φ

)

におけるラプラシアン

3次元極座標(r, θ, φ)における基底ベクトルer,eθ,eφの各変数による微分をまとめる*1。

∂rer= 0,

∂reθ= 0,

∂reφ= 0. (1)

∂θer=eθ,

∂θeθ=−er,

∂θeφ= 0. (2)

∂φer=eφsinθ,

∂φeθ=eφcosθ,

∂φeφ=−ersinθ−eθcosθ. (3)

はじめに∇の3次元極座標表示を求めるため,位置ベクトルr=r(r, θ, φ)の全微分をとる。r=errお よびer=er(θ, φ)であることに注意すれば

dr=erdr+∂ er

∂θ r dθ+ ∂er

∂φr dφ=erdr+eθr dθ+eφrsinθ dφ (4)

である。次に任意のスカラー関数f(r, θ, φ)の全微分をとる。

df= ∂f ∂rdr+

∂f ∂θdθ+

∂f ∂φdφ.

この式の右辺を(4)式で求めたdrで括れるように変形すると

df= ∂f ∂r ·dr+

1 r

∂f

∂θ ·r dθ+ 1 rsinθ

∂f

∂φ·rsinθ dφ =

[(

er

∂r +eθ 1 r

∂ ∂θ+eφ

1 rsinθ

∂ ∂φ

)

f

]

·dr (5)

=: (gradf)·dr= (∇f)·dr (6)

∴ ∇=er

∂r +eθ 1 r

∂ ∂θ+eφ

1 rsinθ

∂φ. (7)

この∇を使ってラプラシアン∆を計算する。任意の関数に作用することを忘れずに2乗すると

∆ :=∇2=

(

er

∂r +eθ 1 r

∂ ∂θ+eφ

1 rsinθ

∂ ∂φ

)

·

(

er

∂r +eθ 1 r

∂ ∂θ +eφ

1 rsinθ

∂ ∂φ

)

= ∂2 ∂r2 +

1 r

∂ ∂r +

1 r2

∂2 ∂θ2 +

1 r

∂ ∂r +

cosθ r2sinθ

∂ ∂θ+

1 r2sin2θ

∂2 ∂φ2

= ∂

2

∂r2 +

2 r

∂ ∂r +

1 r2

∂2 ∂θ2 +

cotθ r2

∂ ∂θ+

1 r2sin2θ

∂2

∂φ2. (8)

以上により,3次元極座標表示におけるラプラシアンが決定した。

ポイントは(5)から(6)への変形。(5)式が勾配gradの定義そのものだと気付くことが重要。

参考文献

1. 砂川重信:『電磁気学演習』(岩波書店,1992年)

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参照

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