経済統計 #12 ・復習問題解答
担当：鹿野（大阪府立大学）
2014 年度前期
解答
1. 周辺分布h(x,y)は、二つの確率変数(X,Y)の実現値のペア(x,y)に確率を与える。一方周 辺分布 f (x)、g(y)は、X、Yそれぞれの実現値x、yに個別に確率を与える。
2. （周辺分布を同時分布の側面に書き込むと、以下の通り。） h(x,y) Y = 0 Y = 1 f (x)
X = 0 0.4 0.3 0.7
X = 1 0.2 0.1 0.3
g(y) 0.6 0.4
(a) 各周辺分布は
f (x) =
⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎩
0.7 for x = 0
0.3 for x = 1, g(x) =
⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎩
0.6 for y = 0
0.4 for y = 1 (1)
(b) E(X) = 0 · 0.7 + 1 · 0.3 = 0.3、E(Y) = 0 · 0.6 + 1 · 0.4 = 0.4。よって確率変数の和の期 待値の性質より、
E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 0.3 + 0.4 = 0.7. (2) (c) 補足1：ここで f (x)、g(y)はそれぞれベルヌーイ分布Bin(1,0.3)、Bin(1,0.4)なので、
f (x) = 0.3x(1 − 0.3)1−x, g(x) = 0.4y(1 − 0.4)1−y, x,y = 0,1 (3) と書いても良い。ベルヌーイ分布の性質（講義ノート#09）からE(X) = 0.3、Var(X) = 0.3(1 − 0.3) = 0.21、E(Y) = 0.4、Var(Y) = 0.4(1 − 0.4) = 0.24。
(d) 補足2：E(X + Y)を、公式を使わず定義通り求めると
E(X + Y) = (0 + 0)h(0,0) + (0 + 1)h(0,1) + (1 + 0)h(1,0) + (1 + 1)h(1,1)
= 0 · 0.4 + 1 · 0.3 + 1 · 0.2 + 2 · 0.1 = 0.7. (4)
(e) 類題：この同時分布からE(XY) =
xyxyh(x,y)を求め、E(XY) E(X)E(Y)を確認 せよ。
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