2016A・線型代数学演習(理二三1820・月曜3限) todaimuesaka

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2016 年度 A ターム 線型代数学演習 レポート問題 理二三 18-20 提出期限: 2017/1/16(月)17:00 まで 1 次の連立方程式の解集合を求めよ. x1 +x2 +x3 +2x4 =2 3x1 +5x2 −5x2 +2x4 =12 4x1 +4x2 +3x3 −5x4 =4 x1 +x2 +x3 =1 x1 +x2 x4 =1 (2) x1 +x3 +x4 =1 x +x +ax =1 2 3 4 1) 2 次の行列の行列式を求めよ. 2 1 0 2 1 2 −1 ©ª ­1 1 1 ­1 3 5 −2® 1) 2) 0 1 0 ­3 1 2 −1® 0 0 1 «1 4 3 2¬ 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 ª ©0® a ®0® 3) b ®1® c 2¬ 1 a 0 a+b+t a+c+t 1 b a+b+t 0 b+c+t 1 c a+c+t b+c+t 0 1 3 次の行列 A は対角化可能であるか,証明も込めて述べよ.対角化可能であ る場合, P−1 AP が対角行列になるような正則行列 P を求めよ. 1 0 0 0 1 −1/3 0 −1/3 0 1 −1 6 −1 1 ©ª ©ª 1 −1 0 ®ª ©ª ­0 2 0 2 ®1 3 1® 3) 1) 2 3 −1® 2) 2 (4) 2/3 1 2/3 ®0 0 1 0 ®0 «10 5 −7¬ 2 1 3¬ 0 1 1 ¬0 −1 0 −1¬ 1 4 1) 12/27 訂正)4 つ目のベクトルの第 4 成分を 2 から 0 にしました.2 だと基 底にならないためです. R4 には標準内積が入っているとする.このとき,R4 の順序つき基底 1 3 3 1 ©ª ©ª ©ª ©ªª 1 2 ­0® 2®®1® 1 ®1® 3®®1¬ 2¬ 0¬ 0¬¬に Gram–Schmidt の直交化を適用して得られる正規直交基底を求めよ. 1 1 ª 1® 1® 1® 0¬ 2) C4 には標準内積 hx |yi :4 Õ xj yj j =1 が入っているとする.このとき,C4 の順序つき基底 0 0 1 1 ©ª ©ª ©ª ©ªª ­1® i ®0 ®0®®1® i ®0 ®0®®0¬ 0 ¬1¬ 1¬¬に Gram–Schmidt の直交化を適用して得られる正規直交基底を求めよ. 5 7 ©i (1) Hermite 行列 ­0 «2 9/5 ©2) 対称行列 ­2/5 «0 6 i 7 0 −2i 0 −2 ª 0 2i ®を unitary 行列で対角化せよ. 6 0® 0 10 ¬2/5 0 ª 6/5 0® を直交行列で対角化せよ. 0 1¬ K n の 2 つのベクトル a, b ∈K n について, A =a t b とおく. A の固有値と 対応する固有ベクトルを求めよ. 7 次の漸化式の一般項を行列の対角化を用いて求めることを考える. an+3 −3an+2 −4an+1 +12an =0 (n ≥0) a0 =0, a1 =0, a2 =1 1) 次を満たすような 3 次正方行列 A を 1 つ求めよ. a a ©n+2 ª ©n+3 ª ­an+2 ®A ­an+1 ®n ≥0) an ¬an+1 ¬2) A を対角化して,P−1 AP が対角行列となるような正則行列 P を求めよ. 3) An を求めよ. 4) an を n の式で表せ. 2 8 T ∈Mn (R) を,−1 を固有値に持たない直交行列とする.このとき, X =En −T)(En +T)−1 とおけば, X は交代行列 (t X =X) であることを示せ.逆 に, X が交代行列であれば,T =E −X)(E +X)−1 とおくと,T は −1 を固有 値に持たない直交行列であることを示せ. レポート作成上の注意 この問題には誤字やミスが有る可能性が残されています.その場合, まず website(https:/sites.google.com/site/todaimuesaka/)を 見て,訂正がないか確認してください.これをしないと,私が何十 通というメールに同一の返信をしなければいけません. その上で,私にメールを下さってもいいですし,自分で矛盾なく,さ らに自明な主張にならないように問題文を訂正し,そのことをレポー トに書いたうえで問題を解いてもらっても構いません. 紙でレポートを作成する場合は,A4 の紙を使用し,複数枚に渡る場合は ホッチキスで止めてください.表紙は特に不要ですが,名前と学籍番号を 必ず記載してください.これがないと評価に反映できません. 手書きかどうかは問いません.Word なり TEX なりで作成してもらっても結 構です.その場合,私のメールアドレスに,PDF の形でレポートを送付して 頂いても構いません.私のメールアドレスは muesaka@ms.u-tokyo.ac.jp です.ただし,メールを書く上で,以下の事項を守ってください. メールの件名は「線型代数学演習レポート」とする. メールの本文に,クラスと学籍番号と名前を明記する. PDF 以外は不可.Word で作成しても PDF で保存することはできる ので,知らない人は調べておきましょう. 締切は紙による提出と同じです. レポートは,問題の出来はもとより,読みやすさも評価の対象とします. 読みやすさの評価をする上では,例えば以下のようなポイントを見ます. 日本語の文章としての読みやすさ. 見た目の読みやすさ.いざ読もうとした時に,一瞥して読む気をな くさせるレポートの評価は下がります.メモ程度の下書きをレポー トとして出さず,出来る限り清書をして提出してください.一方,字 そのものの綺麗さは個人に依存するので,そこを評価対象にするこ とはありません.(そのため,この講義では PDF でのレポート提出 を認めています. 読みやすく書くための努力をしているか否かが評 価の対象です. 3
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