2016A・線型代数学演習(理二三1820・月曜3限) todaimuesaka

Free

0
10
3
1 year ago
Preview
Full text
(1)2016 年度 A ターム 線型代数学演習 レポート問題 理二三 18-20 提出期限: 2017/1/16(月)17:00 まで 1 次の連立方程式の解集合を求めよ.     x1 +x2 +x3 +2x4 =2 3x1 +5x2 −5x2 +2x4 = 12   4x1 +4x2 +3x3 −5x4 =4   x1 +x2 +x3 =1     x1 +x2  +x4 = 1 (2) x1 +x3 +x4 = 1     x +x +ax =1 2 3 4  (1) 2 次の行列の行列式を求めよ. 2 1 0 2 1 2 −1 © © ª ­1 1 1 ­ 1 3 5 −2® ­ (1) ­ ® (2) ­0 1 0 ­−3 1 2 −1® ­ ­0 0 1 «1 4 3 2¬ «0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 ª © 0® ­a ® ­ 0® (3) ­ b ® ­ 1® ­ c 2¬ «1 a 0 a+b+t a+c+t 1 b a+b+t 0 b+c+t 1 c a+c+t b+c+t 0 1 3 次の行列 A は対角化可能であるか,証明も込めて述べよ.対角化可能であ る場合, P−1 AP が対角行列になるような正則行列 P を求めよ. 1 0 0 0 1 −1/3 0 −1/3 0 1 −1 6 −1 1 © ª © ª 1 −1 0 ® © ª © ª ­0 2 0 2 ® ­ 1 3 1® (3) ­ (1) ­−2 3 −1® (2) ­ 2 (4) ­ ® ® 2/3 1 2/3 ® ­0 0 1 0 ® ­ 0 « 10 5 −7¬ «−2 1 3¬ 0 1 1 ¬ «0 −1 0 −1¬ «−1 4 (1) (12/27 訂正)4 つ目のベクトルの第 4 成分を 2 から 0 にしました.2 だと基 底にならないためです. R4 には標準内積が入っているとする.このとき,R4 の順序つき基底 1 3 3 1 ©© ª © ª © ª © ªª 1 2 ­­ ® ­ ® ­0® ­2®® ­­ ® , ­ ® , ­ ® , ­ ®® ­­−1® ­ 1 ® ­1® ­3®® ««−1¬ «−2¬ «0¬ «0¬¬ に Gram–Schmidt の直交化を適用して得られる正規直交基底を求めよ. 1 1 ª 1® ® 1® ® 1® 0¬

(2) (2) C4 には標準内積 hx | yi := 4 Õ xj yj j =1 が入っているとする.このとき,C4 の順序つき基底 0 0 1 1 ©© ª © ª © ª © ªª ­­1® ­−i ® ­ 0 ® ­0®® ­­ ® , ­ ® , ­ ® , ­ ®® ­­1® ­ i ® ­ 0 ® ­0®® ««0¬ « 0 ¬ «−1¬ «1¬¬ に Gram–Schmidt の直交化を適用して得られる正規直交基底を求めよ. 5 7 © ­ −i (1) Hermite 行列 ­ ­0 «−2 9/5 © (2) 対称行列 ­−2/5 « 0 6 i 7 0 −2i 0 −2 ª 0 2i ® ® を unitary 行列で対角化せよ. 6 0® 0 10 ¬ −2/5 0 ª 6/5 0® を直交行列で対角化せよ. 0 1¬ K n の 2 つのベクトル a, b ∈ K n について, A = a t b とおく. A の固有値と 対応する固有ベクトルを求めよ. 7 次の漸化式の一般項を行列の対角化を用いて求めることを考える. ( an+3 − 3an+2 − 4an+1 + 12an = 0 (n ≥ 0) a0 = 0, a1 = 0, a2 = 1 (1) 次を満たすような 3 次正方行列 A を 1 つ求めよ. a a © n+2 ª © n+3 ª ­an+2 ® = A ­an+1 ® (n ≥ 0) « an ¬ «an+1 ¬ (2) A を対角化して,P−1 AP が対角行列となるような正則行列 P を求めよ. (3) An を求めよ. (4) an を n の式で表せ. 2

(3) 8 T ∈ Mn (R) を,−1 を固有値に持たない直交行列とする.このとき, X = (En − T)(En + T)−1 とおけば, X は交代行列 (t X = −X) であることを示せ.逆 に, X が交代行列であれば,T = (E − X)(E + X)−1 とおくと,T は −1 を固有 値に持たない直交行列であることを示せ. レポート作成上の注意 • この問題には誤字やミスが有る可能性が残されています.その場合, – まず website(https://sites.google.com/site/todaimuesaka/) を 見て,訂正がないか確認してください.これをしないと,私が何十 通というメールに同一の返信をしなければいけません. – その上で,私にメールを下さってもいいですし,自分で矛盾なく,さ らに自明な主張にならないように問題文を訂正し,そのことをレポー トに書いたうえで問題を解いてもらっても構いません. • 紙でレポートを作成する場合は,A4 の紙を使用し,複数枚に渡る場合は ホッチキスで止めてください.表紙は特に不要ですが,名前と学籍番号を 必ず記載してください.これがないと評価に反映できません. • 手書きかどうかは問いません.Word なり TEX なりで作成してもらっても結 構です.その場合,私のメールアドレスに,PDF の形でレポートを送付して 頂いても構いません.私のメールアドレスは muesaka@ms.u-tokyo.ac.jp です.ただし,メールを書く上で,以下の事項を守ってください. – メールの件名は「線型代数学演習レポート」とする. – メールの本文に,クラスと学籍番号と名前を明記する. – PDF 以外は不可.Word で作成しても PDF で保存することはできる ので,知らない人は調べておきましょう. – 締切は紙による提出と同じです. • レポートは,問題の出来はもとより,読みやすさも評価の対象とします. 読みやすさの評価をする上では,例えば以下のようなポイントを見ます. – 日本語の文章としての読みやすさ. – 見た目の読みやすさ.いざ読もうとした時に,一瞥して読む気をな くさせるレポートの評価は下がります.メモ程度の下書きをレポー トとして出さず,出来る限り清書をして提出してください.一方,字 そのものの綺麗さは個人に依存するので,そこを評価対象にするこ とはありません.(そのため,この講義では PDF でのレポート提出 を認めています. )読みやすく書くための努力をしているか否かが評 価の対象です. 3

(4)

Tags

2016A・線型代数学演習(理二三1820・月曜3限) Todaimuesaka Ans 統計学 I H25 前期 水曜 3限 5限) Toshihide Kitakado S Website 統計学 I H25 前期 水曜 3限 5限) Toshihide Kitakado S Website Lec12 13 Exercises 統計学 I H25 前期 水曜 3限 5限) Toshihide Kitakado S Website Lec5 Rev 統計学 I H25 前期 水曜 3限 5限) Toshihide Kitakado S Website Lec4 Rev 統計学 I H25 前期 水曜 3限 5限) Toshihide Kitakado S Website Lec 統計学 I H25 前期 水曜 3限 5限) Toshihide Kitakado S Website Lec10 Exercises 第3回演習問題 Lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢) 第二回演習問題 Lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)
Show more