統計学 I 演習 , 第 8 週 : 分布と期待値 : 演習
菅原慎矢
June 9
連絡事項
• 第一回小テストの採点結果は、もう少し待って下さい
• 第 10 回 6/23(木) 二回目小テスト
• 7/4(月)18:00-19:30 補講, いつもと同じ教室
• 7/14(木) 出張のため休講
• 期末テストは 7/28(木) の授業時間(予定)
• 予定では第 13 回 に小テストなのだが、週二回授業の 7/7(木) だと準備きつい? 7/21(木) にしてもよいのだが、それだと期末テストの 1 週前
1 演習問題 : 分布
1. 以下の分布関数が与えられているとする
FX(x) =
0 if x < 0
x+1
2 if 0 ≤ x < 1 1 if x ≥ 1
(1)
次の確率を求めよ
• A: FX(1/2)
• B: FX(−1)
• C: FX(10)
3. 以下の確率密度関数が与えられているとする
fX(x) =
0 if x ≤ 0 4x3 if 0 < x < 1
0 if x ≥ 1
(3)
1/16 = P (X ≤ c)となる c を求めよ
2 演習問題 : 期待値
1
確率変数 X の確率密度関数が次のように与えられているとする
f (x) =
0 if x ≤ 0 6x(1 − x) if 0 < x < 1
0 if x ≥ 1
(1)
以下を求めよ。(1)E(X), (2)E(X2), (3)V (X)
2
以下は Cov(X, Y ) = E(XY ) − µXµY を示すことが目的の設問である
X, Y を、それぞれ x1, .., xm または y1, ..., yn で正の確率 pX(x1), .., pX(xm), または pY(y1), ..., pY(yn)を取る離散確率変数とする。また、µX,µY を X, Y の平均、pX,Y(x, y)を
(X = x, Y = y)における X, Y の同時確率関数とする。さらに、E[XY ] = ∑mi=1∑nj=1xiyjpX,Y(xi, yj) と定義する. ここで
Cov(X, Y ) = E[(X − µX)(Y − µY)] (2)
=
m
∑
i=1 n
∑
j=1
(xi−µX)(yj −µY)pX,Y(xi, yj) (3)
=
m
∑
i=1 n
∑
j=1
(xiyj −xiµY −yiµX + µXµY)pX,Y(xi, yj) (4)
=
m
∑
i=1 n
∑
j=1
xiyjpX,Y(xi, yj) −
m
∑
i=1 n
∑
j=1
xiµYpX,Y(xi, yj)
−
m
∑
i=1 n
∑
j=1
yjµXpX,Y(xi, yj) +
m
∑
i=1 n
∑
j=1
µXµYpX,Y(xi, yj) (5)
となり、右辺第 1 項は定義から E[XY ] である。ここで 1. 右辺第 2 項を計算せよ
2. 右辺第 3 項を計算せよ 3. 右辺第 4 項を計算せよ
HINT
ヒント 1: 周辺分布と同時分布の関係 pY(yj) =∑mi=1pX,Y(xi, yj), pX(xi) =∑nj=1pX,Y(xi, yj)
を用いる
ヒント 2: 多重和の順序交換: ∑mi=1∑nj=1g(xi, yi) = ∑mj=1∑ni=1g(xi, yj)
これが成立しないのは、∑mi=1∑ij=1g(xi, yi)のように、二つ目の Σ の添え字が、一つ 目の Σ の添え字に依存しているケース
演習問題解答 : 分布
1.
P (X ≤ x) = FX(x) (6)
を利用すれば導出可能 A:
A
F (1/2) =
∫ 0
−∞
0dx +
∫ 1/2 0
2x
9 dx (10)
= 0 +[x
2
9 ]1/2
0 (11)
= 1/36 (12)
B
F (−1) =
∫ −1
−∞
0dx = 0 (13)
C.
F (10) =
∫ 0
−∞
0dx +
∫ 3
0
2x 9 dx +
∫ 10
3
0dx (14)
= 0 +[x
2
9 ]3
0+ 0 (15)
= 1 (16)
3.
0 < c < 1であるとき
1/16 = F (c) (17)
=
∫ c 0
4x3dx (18)
= c4 (19)
よって c = 1/2.
c ≤ 0であるとき F (c) = ∫−∞c 0dx = 0であり、F (c) = 1/16 を満たす c は存在しない. c ≥ 1であるとき F (c) = ∫014x3dx = 1であり、F (c) = 1/16 を満たす c は存在しない.
演習問題解答 : 期待値
1(1)
E(X) =
∫ 1
0
xf (x)dx (20)
=
∫ 1 0
(6x2−6x3)dx (21)
= [2x3−3 2x
4]1
0 (22)
= 2 − 3/2 = 1/2 (23)
1(2)
E(X2) =
∫ 1
0
x2f (x)dx (24)
=
∫ 1
0
(6x3−6x4)dx (25)
= [3 2x
4− 6 5x
x]1
0 (26)
= 3/2 − 6/5 = 3/10 (27) 1(3): 分散式の分解を用い、
V (X) = E(X2) − E(X)2 (28)
= 3/10 − 1/4 = 1/20 (29) 2.1.
−
m
∑
i=1 n
∑
j=1
xiµYpX,Y(xi, yj) = −µY m
∑
i=1 n
∑
j=1
xipX,Y(xi, yj) (30)
= −µY m
∑
i=1
xi n
∑
j=1
pX,Y(xi, yj) (31)
m
−
m
∑
i=1 n
∑
j=1
yjµXpX,Y(xi, yj) = −µX m
∑
i=1 n
∑
j=1
yjpX,Y(xi, yj) (34)
= −µX n
∑
j=1 m
∑
i=1
yjpX,Y(xi, yj) (35)
= −µX n
∑
j=1
yj m
∑
i=1
pX,Y(xi, yj) (36)
= −µX n
∑
j=1
yipY(yj) (37)
= −µXµY (38)
2.3.
m
∑
i=1 n
∑
j=1
µXµYpX,Y(xi, yj) = µXµY
m
∑
i=1 n
∑
j=1
pX,Y(xi, yj) (39)
= µXµY m
∑
i=1
pX(xi) (40)
= µXµY (41)
これらをまとめて、Cov(X, Y ) = E(XY ) − µXµY が示された