統計学
I
演習
,
第
8
週
:
分布と期待値
:
演習
菅原慎矢
June 9
連絡事項
• 第一回小テストの採点結果は、もう少し待って下さい
• 第10回 6/23(木)二回目小テスト
• 7/4(月)18:00-19:30補講, いつもと同じ教室
• 7/14(木)出張のため休講
• 期末テストは7/28(木)の授業時間（予定）
• 予定では第13回 に小テストなのだが、週二回授業の7/7(木)だと準備きつい? 7/21(木)にしてもよいのだが、それだと期末テストの1週前
1
演習問題
:
分布
1. 以下の分布関数が与えられているとする
FX(x) =
0 if x <0 x+1
2 if 0≤x <1
1 if x≥1
(1)
• A: FX(1/2)
• B: FX(−1)
• C: FX(10)
3. 以下の確率密度関数が与えられているとする
fX(x) =
0 if x≤0 4x3
if 0< x <1 0 if x≥1
(3)
1/16 =P(X ≤c)となるcを求めよ
2
演習問題
:
期待値
1
確率変数Xの確率密度関数が次のように与えられているとする
f(x) =
0 if x≤0 6x(1−x) if 0< x < 1
0 if x≥1
(1)
以下を求めよ。(1)E(X), (2)E(X2
), (3)V(X)
2
以下はCov(X, Y) =E(XY)−µXµY を示すことが目的の設問である
X, Y を、それぞれx1, .., xm または y1, ..., yn で正の確率pX(x1), .., pX(xm), または
pY(y1), ..., pY(yn)を取る離散確率変数とする。また、µX,µY をX, Y の平均、pX,Y(x, y)を (X =x, Y =y)におけるX, Y の同時確率関数とする。さらに、E[XY] =∑mi=1
∑n
j=1xiyjpX,Y(xi, yj)
Cov(X, Y) = E[(X−µX)(Y −µY)] (2)
= m ∑
i=1
n ∑
j=1
(xi−µX)(yj −µY)pX,Y(xi, yj) (3)
= m ∑
i=1
n ∑
j=1
(xiyj −xiµY −yiµX +µXµY)pX,Y(xi, yj) (4)
= m ∑
i=1
n ∑
j=1
xiyjpX,Y(xi, yj)− m ∑
i=1
n ∑
j=1
xiµYpX,Y(xi, yj)
−
m ∑
i=1
n ∑
j=1
yjµXpX,Y(xi, yj) + m ∑
i=1
n ∑
j=1
µXµYpX,Y(xi, yj) (5)
となり、右辺第1項は定義からE[XY]である。ここで
1. 右辺第2項を計算せよ 2. 右辺第3項を計算せよ
3. 右辺第4項を計算せよ
HINT
ヒント1: 周辺分布と同時分布の関係pY(yj) =∑mi=1pX,Y(xi, yj),pX(xi) =
∑n
j=1pX,Y(xi, yj)
を用いる
ヒント2: 多重和の順序交換: ∑mi=1
∑n
j=1g(xi, yi) =
∑m j=1
∑n
i=1g(xi, yj)
これが成立しないのは、∑m i=1
∑i
j=1g(xi, yi)のように、二つ目のΣの添え字が、一つ
目のΣの添え字に依存しているケース
演習問題解答
:
分布
1.
P(X ≤x) =FX(x) (6)
を利用すれば導出可能
A
F(1/2) = ∫ 0
−∞
0dx+ ∫ 1/2
0
2x
9 dx (10)
= 0 +[x
2
9 ]1/2
0 (11)
= 1/36 (12)
B
F(−1) = ∫ −1
−∞
0dx= 0 (13)
C.
F(10) = ∫ 0
−∞
0dx+ ∫ 3
0
2x
9 dx+ ∫ 10
3
0dx (14)
= 0 +[x
2
9 ]3
0+ 0 (15)
= 1 (16)
3.
0< c <1であるとき
1/16 = F(c) (17)
= ∫ c
0
4x3
dx (18)
= c4
(19)
よってc= 1/2.
c≤0であるとき F(c) =∫c
−∞0dx= 0であり、F(c) = 1/16を満たすcは存在しない.
c≥1であるときF(c) =∫1 0 4x
3
dx= 1であり、F(c) = 1/16を満たすcは存在しない.
演習問題解答
:
期待値
E(X) = ∫ 1
0
xf(x)dx (20)
= ∫ 1
0
(6x2
−6x3
)dx (21)
= [2x3
−3
2x
4]1
0 (22)
= 2−3/2 = 1/2 (23)
1(2)
E(X2
) = ∫ 1
0
x2
f(x)dx (24)
= ∫ 1
0
(6x3
−6x4
)dx (25)
= [3 2x
4
− 6
5x x]1
0 (26)
= 3/2−6/5 = 3/10 (27)
1(3): 分散式の分解を用い、
V(X) = E(X2
)−E(X)2
(28) = 3/10−1/4 = 1/20 (29)
2.1.
−
m ∑
i=1
n ∑
j=1
xiµYpX,Y(xi, yj) = −µY m ∑
i=1
n ∑
j=1
xipX,Y(xi, yj) (30)
= −µY m ∑
i=1
xi n ∑
j=1
pX,Y(xi, yj) (31)
−
m ∑
i=1
n ∑
j=1
yjµXpX,Y(xi, yj) = −µX m ∑
i=1
n ∑
j=1
yjpX,Y(xi, yj) (34)
= −µX n ∑
j=1
m ∑
i=1
yjpX,Y(xi, yj) (35)
= −µX n ∑
j=1
yj m ∑
i=1
pX,Y(xi, yj) (36)
= −µX n ∑
j=1
yipY(yj) (37)
= −µXµY (38)
2.3.
m ∑
i=1
n ∑
j=1
µXµYpX,Y(xi, yj) = µXµY m ∑
i=1
n ∑
j=1
pX,Y(xi, yj) (39)
= µXµY m ∑
i=1
pX(xi) (40)
= µXµY (41)
