第8回演習問題 lecture Shinya Sugawara(菅原慎矢)

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全文

(1)

統計学

I

演習

,

8

:

分布と期待値

:

演習

菅原慎矢

June 9

連絡事項

• 第一回小テストの採点結果は、もう少し待って下さい

• 第10回 6/23(木)二回目小テスト

• 7/4(月)18:00-19:30補講, いつもと同じ教室

• 7/14(木)出張のため休講

• 期末テストは7/28(木)の授業時間(予定)

• 予定では第13回 に小テストなのだが、週二回授業の7/7(木)だと準備きつい? 7/21(木)にしてもよいのだが、それだと期末テストの1週前

1

演習問題

:

分布

1. 以下の分布関数が与えられているとする

FX(x) =  

0 if x <0 x+1

2 if 0≤x <1

1 if x≥1

(1)

(2)

• A: FX(1/2)

• B: FX(−1)

• C: FX(10)

3. 以下の確率密度関数が与えられているとする

fX(x) =  

0 if x≤0 4x3

if 0< x <1 0 if x≥1

(3)

1/16 =P(X ≤c)となるcを求めよ

2

演習問題

:

期待値

1

確率変数Xの確率密度関数が次のように与えられているとする

f(x) =  

0 if x≤0 6x(1−x) if 0< x < 1

0 if x≥1

(1)

以下を求めよ。(1)E(X), (2)E(X2

), (3)V(X)

2

以下はCov(X, Y) =E(XY)−µXµY を示すことが目的の設問である

X, Y を、それぞれx1, .., xm または y1, ..., yn で正の確率pX(x1), .., pX(xm), または

pY(y1), ..., pY(yn)を取る離散確率変数とする。また、µX,µY をX, Y の平均、pX,Y(x, y)を (X =x, Y =y)におけるX, Y の同時確率関数とする。さらに、E[XY] =∑mi=1

∑n

j=1xiyjpX,Y(xi, yj)

(3)

Cov(X, Y) = E[(X−µX)(Y −µY)] (2)

= m ∑

i=1

n ∑

j=1

(xi−µX)(yj −µY)pX,Y(xi, yj) (3)

= m ∑

i=1

n ∑

j=1

(xiyj −xiµY −yiµX +µXµY)pX,Y(xi, yj) (4)

= m ∑

i=1

n ∑

j=1

xiyjpX,Y(xi, yj)− m ∑

i=1

n ∑

j=1

xiµYpX,Y(xi, yj)

m ∑

i=1

n ∑

j=1

yjµXpX,Y(xi, yj) + m ∑

i=1

n ∑

j=1

µXµYpX,Y(xi, yj) (5)

となり、右辺第1項は定義からE[XY]である。ここで

1. 右辺第2項を計算せよ 2. 右辺第3項を計算せよ

3. 右辺第4項を計算せよ

HINT

ヒント1: 周辺分布と同時分布の関係pY(yj) =∑mi=1pX,Y(xi, yj),pX(xi) =

∑n

j=1pX,Y(xi, yj)

を用いる

ヒント2: 多重和の順序交換: ∑mi=1

∑n

j=1g(xi, yi) =

∑m j=1

∑n

i=1g(xi, yj)

これが成立しないのは、∑m i=1

∑i

j=1g(xi, yi)のように、二つ目のΣの添え字が、一つ

目のΣの添え字に依存しているケース

演習問題解答

:

分布

1.

P(X ≤x) =FX(x) (6)

を利用すれば導出可能

(4)

A

F(1/2) = ∫ 0

−∞

0dx+ ∫ 1/2

0

2x

9 dx (10)

= 0 +[x

2

9 ]1/2

0 (11)

= 1/36 (12)

B

F(−1) = ∫ −1

−∞

0dx= 0 (13)

C.

F(10) = ∫ 0

−∞

0dx+ ∫ 3

0

2x

9 dx+ ∫ 10

3

0dx (14)

= 0 +[x

2

9 ]3

0+ 0 (15)

= 1 (16)

3.

0< c <1であるとき

1/16 = F(c) (17)

= ∫ c

0

4x3

dx (18)

= c4

(19)

よってc= 1/2.

c≤0であるとき F(c) =∫c

−∞0dx= 0であり、F(c) = 1/16を満たすcは存在しない.

c≥1であるときF(c) =∫1 0 4x

3

dx= 1であり、F(c) = 1/16を満たすcは存在しない.

演習問題解答

:

期待値

(5)

E(X) = ∫ 1

0

xf(x)dx (20)

= ∫ 1

0

(6x2

−6x3

)dx (21)

= [2x3

−3

2x

4]1

0 (22)

= 2−3/2 = 1/2 (23)

1(2)

E(X2

) = ∫ 1

0

x2

f(x)dx (24)

= ∫ 1

0

(6x3

−6x4

)dx (25)

= [3 2x

4

− 6

5x x]1

0 (26)

= 3/2−6/5 = 3/10 (27)

1(3): 分散式の分解を用い、

V(X) = E(X2

)−E(X)2

(28) = 3/10−1/4 = 1/20 (29)

2.1.

m ∑

i=1

n ∑

j=1

xiµYpX,Y(xi, yj) = −µY m ∑

i=1

n ∑

j=1

xipX,Y(xi, yj) (30)

= −µY m ∑

i=1

xi n ∑

j=1

pX,Y(xi, yj) (31)

(6)

m ∑

i=1

n ∑

j=1

yjµXpX,Y(xi, yj) = −µX m ∑

i=1

n ∑

j=1

yjpX,Y(xi, yj) (34)

= −µX n ∑

j=1

m ∑

i=1

yjpX,Y(xi, yj) (35)

= −µX n ∑

j=1

yj m ∑

i=1

pX,Y(xi, yj) (36)

= −µX n ∑

j=1

yipY(yj) (37)

= −µXµY (38)

2.3.

m ∑

i=1

n ∑

j=1

µXµYpX,Y(xi, yj) = µXµY m ∑

i=1

n ∑

j=1

pX,Y(xi, yj) (39)

= µXµY m ∑

i=1

pX(xi) (40)

= µXµY (41)

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参照

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