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第 ₉ 回

決定係数

本日 内容

• ^総変動

• ^{総変動 解}

• ^決定係数

前回 復習

• ^{基本的 い}

– ^{一般 、会社 業績 い 社長 給料 高い}→^利 益率 説明変数、 収 被説明変数

• ^{ウ 公式 当 、}

= ∑_∑ ^{− �} _{− � =} ^{− ×}_{− ×} ^× = . = − = − . × = .

• ^{設問2 、回帰値＝} _� ^、残差＝ _�� ^{、 えば}

= − . + . = − . + . × = . � = − = . − . =

あ 確認

• ^{最 2 法 推定} → ^{残差 2 和 最} →

予測値 実際 ータ 離 最 い

• ^{、こ あ 回帰式 正 い場合 、}

適 直線 引け い い

– ^{教育 数 所得 関係を、最 2 法を用い 計算}

ば、 さい関係 け

– ^{そ そ 教育 数 所得 間 関係 あ ？}

• ^{程度、回帰式 ータ 当 い}

を示 指標

総変動

• ^{最 2 法 、 RSS 残差 2 和、残差変動 を最}

う 計算

– ^{残差 、回帰式 説明 値 予測値 実} 際 ータ 観測値 差

– RSS^{を、 均的 ば 何 説明 い場合 ば} 比べ ば、 程度回帰式 あ

い を把握

• ^{総変動 TSS) ：被説明変数 均 偏差 2 和}

– TSS Total Sum of the Squared deviations ^比較 こ 、あ 良さを考え

総変動

2 1

2 1

1

2

)

(

)

(

)

(

y

n

y

y

y

y

y

y

TSS

n

i

i n

i

i i

n

i

i

























例

• ^{前回 確認 ス 数値を当 、}

= ∑ − � = − ×

=

収_{( )} 利益率_{( )} 収 _{2 (} ^�₎ 利益率 _{2 (} ^� ₎ 収×利益率_{( )}

和 _{7385 105 8133503 1775 115931}

総変動

• TSS ^{、観測値 均 2 和} → ^散

う _{� −} 割 い い け

– ^{ータ全体 ば を表}

– ^{説明変数や推定 結果 依 い}

– ^{ータ全体 ば 、回帰 後 ば 残差} 変動 を比較 こ 、回帰式 程度ば

を 説明 い を測定

• _≥

– ^{証明 教科書参照}

– ^{要 、 さ う 調整 い RSS 、 調} 整 い い_TSS さ 、 いうこ

総変動 解

• ^回帰値

^、残差 _�

^{被説明変数}

^関係を

使

₋ を書 直 、

– RSS ^{第 項 和}

– ^{第 項 和を ESS) いう}

– ^回帰値 _� ^{均 観測値} _� ^{均 一致 、} ESS ^{観測値 ば 対 回帰値 ば}

を表 い

i i

i i

i ^{y y u y y y u}

y _{ } ( _{ˆ  ˆ} ) _{ } ( _{ˆ } ) _{ ˆ}







 ⁿ

i

i n

i

i i

n

i

i ^{y y y y y ny}

y ESS

1

2 2

1 1

2 _{ˆ ˆ}

ˆ ) ( ˆ )

(

総変動 解

• TSS ^{、 RSS 、 ESS 間 以 関係 あ}

– ^{観測値 ば TSS 、回帰式}

説明 ば _ESS 、回帰式 説明

いば _RSS 解 こ

– ^{こ 関係 、 RSS 以 式 計算}

RSS

ESS

TSS _{ }





^



i

i n

i

i

^y

y

RSS

1

2 1

2

_ˆ

例

• ^{先週 確認 ス を用い (RSS い 前回講義} スラ 参照₎

– ₌

– = ∑ − ∑ = ∑ − ∑ − ∑ = −

. × − . × = .

– � = − = − . = .

– ^、_∑ ^{計算 7924096.7 、}

– � = . − × = .

– _{= − . = .}

収_{( )} 利益率_{( )} 収 _{2 (} ^�₎ 利益率 _{2 (} ^� ₎ 収×利益率_{( )}

回帰式 説明 ば ？

• ^{回帰式 予測 ば あ ？}

– ^{被説明変数 ば い}→ ^{べ 被説明変} 数 同 値

– ^{被説明変数 説明変数 関係 あ} →^説明変数 値 、被説明変数 値 変わ

– ^{被説明変数 けを取 出 、値 変わ い} → ば い い う 見え

– ^{実際 無意味 ば い い わけ 、説}

明変数 ば い い

– ^{け さ い 、説明変数 説明} いば

回帰式 説明 ば ？

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0 20 40 60 80 100

2 4 6 8 10 12 14 16

直線 い

→^{完全 説明変数 横軸} 説明 い

被説明変数 け取 出

ば あ

x y

決定係数

• ^{推定さ 式 フ ッ 当 良さを}

表 指標 決定係数

• ^{決定係数 、 TSS RSS 比率 計算}

さ

TSS

R

_{1 } RSS

決定係数

• _≥ ^{、決定係数 0 ～ 1 間 数}

• RSS ^{推定式 説明 いば 、}

– RSS ^さい → ^{当 良い}

– RSS ^さい → ^さ → ^決定係数

近

– RSS ^{大 い} → ^{当 良 い} → ^決定係数

近

決定係数

• TSS ^{＝ RSS+ESS を利用 、}

– ^{、決定係数 観測値 ば う 、}

程度 説明変数 ば 説明 、

を表 い いえ

TSS

R

_ ESS

R ESS

TSS ESS TSS

ESS TSS

TSS TSS

ESS TSS

TSS RSS

ESS TSS

RSS









 





 













2

1 1 1

1 1

例

• ^{前回 確認 ス 結果を用い 、}

= − = − ^. = ^.

≈ .

• ^{、 CEO 収 ば 約 39 ％ 利}

益率 説明 いうこ