講義案内 前田研究室 maedalab NumericalVib 1D

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

1 ^{質点線形系 振動解析}

Numerical Analysis Method for a Mass with Linear-System in 1-D

x y

c _k

m

m _x

y k

c

Linear Vibration System

spring-dashpot-mass system spring mass

dashpot

structure system

－１質点系 振動 数学的厳密解(Mathematical Exact Solution)

－ 応答 数値解法(Numerical Solutions) : ^{直接積分法}(Direct Integration Method)

－ 地震応答ス ク ル Earthquake Response Spectrum

運動方程式：

        ^{t c x t kx t f t m y}   ^t

x

m   _  _{   }  

(1.1)

貫性力：相対加速度 ₊ 減衰制振力：相対速度 ₊ 復元力：相対変 外力 Inertia force viscous force recover force

釣合い式：

   

 ^      ^{   0}

 ^{m  x  t  y  t c x  t kx t}

^(1.2)

貫性力：絶対加速度 ₊ 減衰制振力：相対速度 ₊ 復元力：相対変 ₀

m

: mass [kg]

k

: spring coefficient [kg/sec²]

c

: viscous damping coefficient [kg/sec]

  ^t

f

: external force applied to the mass

  ^t

y 



:

f _{ } t

is replaced with acceleration of the ceiling and the ground

_ m y   _{ } t

according to D'Alembert_{’s law.}

  ^t

x 



,

x  _{ } t

,

x _{ } t

: relative acceleration[m/sec²], velocity[m/sec], and displacement[m] with respect to the ceiling or the ground, respectively

    ^{t y t}

x _

: absolute displacement

  ^t

x

m  

: inertia force

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

1. Mathematical Exact Solutions: Analytical results

1.1. ^自由振動

F ree Vibration

:

  ^{t  0}

f

,

y   _{ } t _ 0

(1.3)

Linear and homogeneous differential equation solution = general solution

    ^{t x t}

x _

_g (1.4)

Characteristic Equation using differential operator

0

2

²

2

_{  }

g o g

g

^{Dx x}

x

D _{ }

(1.5)

D

: differential operator with respect to time differential (

D _ d dt

):

x ^

_g

_ Dx

_g and

^ x ^

_g

_ D

²

x

_g.

m

c

 2



^,

m

k

o²





^(1.6)



: viscosity normalized by mass[1/sec]



o: referential angular frequency[1/sec] / natural circle frequency

m

k

T f

o o

o

_

 ^{ 2}

2

1  



^(1.7)

T

o: referential vibration period[sec] / natural period

f

o: referential vibration frequency[1/sec] / natural frequency



^o



^g

g

^x

Dx _{   }

²

_{ }

² (1.8)

Vibration mode of the system clearly depends on the relative magnitude of viscous damping:

 

 

 

 

 





















mk

c

mk

c

mk

c

o o o

2

0

2

0

2

0

2 2 2 2 2 2



 ^

 ^



vibr ation

damped

over

vibr ation

damped

cr itically

vibr ation

damped

nor mally

:

c

_cr

_ 2 mk

(1.9)

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB a) Normally damped vibration

parameters

mk

c

c _

_cr

_ 2

, (2.10)

 ^{ i } 

D _{  }

, (2.11)

2 2

2

_{ }

 

o



^{, (2.12)}

period

2

2

1

1

1

2

2

h

T

h

T

^o

O

_

 



  ^  ^

^(2.13)

motions

  _{ }

  _{     }

  _{         }

 

 





































t

A

B

t

B

A

e

t

x

t

A

B

t

B

A

e

t

x

t

B

t

A

e

t

x

g g

g g

t g

g g g

g t g

g g

t g















 ^{     }











sin

2

cos

2

sin

cos

sin

cos

2 2 2



2





(2.14)

initial conditions

^{ }

  

 









g g g

g g

B

A

x

A

x





0

0



^(2.15)

therefore,

^{ }

   

 

 











 ⁰

0

0

g g

g

g g

x

x

B

x

A



^(2.16)

complex descriptions

  _     _

  _       _

  _       _

 

 





























t

i

i

C

al

t

x

t

i

i

C

al

t

x

t

i

C

al

t

x

g g

g g

g g







 ^{   }





exp

Re

exp

Re

exp

Re



2





(2.17)

damping

Viscous damping coefficient

c

mk

c

_cr

_ 2

(2.18)

Viscosity normalized by mass

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

m

c

 2



^{, (2.19)}

Logarithmic damping factor

1

ln





n n

a

D a

(2.20)

Damping factor

o

cr

mk

c

c

h c

 ^





 2

^(2.21)

   

²

1

1

ln 2

ln

h

T h

T

t

x

t

x

a

D a

n n

 

 







 

^(2.22)

0 1 2 3 4 5

-2

-1

0

1

2

t(s)

x( t)

h=0

h=0.005

h=0.01

h=0.05

h=0.1

自由減衰振動

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1 2

t(s)

x(t)

x

1

1

'

x

x

2

x

3

x

4

2

'

x ^x

³

^'

4

'

x

'

T

t

1

t

₂

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB 固有周期実測値(observed value of fundamental natural period)

structure ^{中 層} H^≧45m ^高層 H 45m

S

^T

1^{=0.061 N[階]}

^T

1^{=0.079 N[階]}

SRC, RC

T

1=0.054 N[^階]

T

₁=0.053 N[^階]

減衰定数実測値(observed value of damping factor) 鉄骨構造(Steel structure):

h

=2^％

鉄骨鉄筋コン 構造(Steel reinforced concrete structure):

h

=3^％ 鉄筋コン 構造(Reinforced concrete structure)^：

h

=5^％ 土：

_h

_=0~25％

Here, if h<< 1, we can obtain,

 1

h

,

D _ 2 _ h

(2.23)

Consequently, we can estimate value of h by measuring D,

 1

h

,



2

h _ D

(2.24)

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB b) Critical damped vibration

parameters

mk

c

c _

_cr

_ 2

, (2.25)







D

, (2.26)

2

0

2

2

_{    }



^{o , (2.27)}

period





  ^

T 2

(2.28)

motions

   

       

  _{   }

 

 





























t

B

B

A

e

t

x

t

B

B

A

e

t

x

t

B

A

e

t

x

g g

g t g

g g

g t g

g g t g

3 2

2

2

2 _{ }

 ^{  }















(2.29)

initial conditions

^{ }

  

 









g g g

g g

B

A

x

A

x





0

0



^(2.30)

therefore,

^{ }

   

 









0

0

0

g g

g

g g

x

x

B

x

A





^(2.31)

c) Over damped vibration

parameters

mk

c

c _

_cr

_ 2

, (2.32)

 ^{   } 



D

, (2.33)



^{2 2}



2

_{ }

  

o



^{, (2.34)}

period

1

1

1

2

2

2

2

 ^ 



 h

T

h

T

^o

 ^

O

 ^

^(2.35)

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

motions

   

       

  _{         }

 

 





































t

A

B

t

B

A

e

t

x

t

A

B

t

B

A

e

t

x

t

B

t

A

e

t

x

g g

g g

t g

g g g

g t g

g g

t g















 ^{     }











sinh

2

cosh

2

sinh

cosh

sinh

cosh

2 2 2



2





(2.36)

initial conditions

^{ }

  

 









g g g

g g

B

A

x

A

x





0

0



^(2.37)

therefore,

^{ }

   

 

 











 ⁰

0

0

g g

g

g g

x

x

B

x

A



^(2.38)

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 2 4 6 8 10

過減衰

減衰振動

臨界減衰

An example for vibration behaviours with different h : normally damped, critical damped and over damped vibrations

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

* Euler’s formula

 ^e

^ix

^e

^ix



x _{ }

^

2

cos 1

,

x _{ } e

^ix

_ e

^ix

_

2

sin 1

 ^{x i x}   ^{nx i nx} 

e

^inx

_ cos _ sin

ⁿ

_ cos _ sin

* mechanical vibration system and electric circuit system

m _x

k

c

spring

dashpot

spring-dashpot-mass system

electric circuit system

C

R L

f







 ^{m v cv k vdt}

f 

x

v _ 







 ^Idt

RI C

I

L

e ^{ 1}

q e

I _ 

* mechanical vibration system and a control system in control engineering: PID control







 ^{K e dt}

e T

dt K

K de

T

S

_p

I p p

D c

1

Derivation control + Proportion control + Integration control PID

S

c: control signal

e

: error = target value – current value

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB 非線形解法 (Non-linear analysis of vibration by numerical method)

直接積分法(Direct Integration Method) 非線形運動方程式 数値積分 方法



^差分法

－ 時間領域 数値積分

－ _{Newmark β}法： 実用的に最も用いら

 ^{t t}    ^{x t t x}   ^t        ^{t x t t x t t} 

x _{      }



 

  















^{2 2}

2

1  ^{ } 



(2.39)

 ^{t t}        ^{x t t x t t x}  ^{t t} 

x  _{  }  _ 1 _{   }   _{    }   _{ }

(2.40)

Newmark _β^{法 特別 呼 名}

手法

_{ }

線形加速度法(Linear Acceleration Method) ^{0.5 1/6} 中点加速度法(Constant Average Acceleration Method) 0.5 1/4

－ _{Wilson θ}法

 ^{t t}    ^{x t t x}          ^{t t x t t}  ^{x t t}    ^{x t} 

x _{     }  _{ }   _ ^   _{   }  



6

2

1

2 ²

(2.41)

 ^{t t}    ^{x t t x}   ^{t t}  ^x  ^{t t}    ^{x t} 

x ^ _{  } ^ _{  } ^{ } _ ^{  } _{  } ^{ }



2

^(2.42)

各種数値積分法 安定条件(stability condition of numerical integration)

手法 数値積分 安定条件 無条件安定条件

(unconditionally Stable)

Newmark _β^法



 ^{1 4}

2

 



o

t

0.5

^{  1 4}

Wilson _θ^法

_{ } 1 . 37

中央差分法



 2

t

^し



o ^{モ ル 最も大きい 振動数}

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

－ 直接積分法

) ^{運動方程式 離散化}

  ^{t h x}   ^{t x}   ^{t y}   ^t

x    

 _ 2 _{  }

²

_{ }

(2.43)

 



































t t t

t t

t t

t t t

t t

t t

y

B

y

B

x

A

x

A

x

y

B

y

B

x

A

x

A

x























22 21

22 21

12 11

12

11 (2.44)

  ^ _ ^ _ ^

22 21

12 11

A

A

A

A A

,

_{ }

 

 



22 21

12 11

B

B

B

B B

(2.45)

   

 



 

 

 



 

 

 



 















t t

t t

t t

t t t

y

B y

x

A x

x

x













^(2.46)

t t t t t

t t

t

^{h x x y}

x 

_

_ 

_

_

_

_{ }  

_

 2 _{ }

² (2.47)

t t t

t

^{h x x y}

x    

 _ 2 _{  }

²

_{ }

(2.48)

t t t t t

t t

t

^{h x x y}

x 

_

_ 

_

_

_

_{ }  

_

 2 _{ }

² (2.49)

Taylor Expansion

 

2

2 2

x t

t

x

x

x

_tt

_

_t

_ 

_t

_{  }  

_t

_ ^

(2.50)

t

x

x

x

_tt

_

_t

_ ^{ }

_t1

_{ }

(2.51)

Taylor Expansion

 ^{t t}    ^{f t t f}   ^t

¹

f _{      }

t _ t

₂

_ t _{ } t

(2.52)

        

2

2 2

t t

f

t

f

t

t

f

t

t

f _{        } ^

t _ t

₂

_ t _{ } t

(2.53)

) ^{代数方程式を計算}

(1) Newmark _β^{法 挿方式}

 

^{t t t}

t

^{x x}

x ^ _{ } ^{ } _{ } ^{ }

_



₂

1 _{ }

,

^ x ^

_t1

_{ } 1 _ 2 _{ } x ^{ }

_t

_ 2 _ ^ x ^

_tt (2.54)

 

 ^{1 2 x 2 x}  ^{ } ₂ ^t

²

t

x

x

x

_tt

_

_t

_ 

_t

_{   }  

_t

_{ }  

_tt

^

(2.55)

   ^{x x}  ^t

x

x ^

_tt

_

_t

_ 1 _{ } ^{ }

_t

_{ } ^{ }

_tt

_

(2.56)

    ^{A  ?}

    ^{B  ?}

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

(2) Wilson _θ^{法 外挿方式}

時間

_t

～

_{t   t}

成立 運動方程式 時間

_{t    t}

₍

_{  1}

₎ も成立

t t t t t

t t

t

^{h x x y}

x 

_

_{ } 

_

_{ }

_

_{ }  

_

 2

² ,

_{ } 1

(2.57)

    ^{  } _ ^{ }



























t t t

t t

t t t t

t

y

y

y

x

x

x



























 ^



1

1

(2.58)

  ^{ }

  _ ^



 



 

 

 _{ }



 

  





 

 

 _{ }



 

  

























t

x

x

x

x

x t

x

t

x

x

x

t t t

t t

t t t

t t t

 







 































2

1 2

2

3

1 3

2

(2.59)

In the case of

_

=1,

  ^{ }

  _ ^



 



 

 

 _





 

 

 _

























t

x

x

x

x

x t

x

t

x

x

x

t t t

t t

t t t

t t t































2

1

2

1

2

3

1

3

2

²

(2.60)

= Linear Acceleration Method (

_

=0.5,

_

=1/6)

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB - ^{地震応答ス ク ル} Earthquake Response Spectrum

相対 変 応答ス (Displacement Response Spectrum):

x

相対 速度応答ス (Velocity Response Spectrum) :

x

絶対 加速度応答ス (Acceleration Response Spectrum) :

x ^{ } _ y ^{ }

  ^{h T}

S

_d

,

: ^{最大相対変 応答値}(Displacement Response Spectrum)

  ^{h T}

S

_v

,

: ^{最大相対速度応答値}(Velocity Response Spectrum)

  ^{h T}

S

_a

,

: ^{最大絶対加速度応答値}(Acceleration Response Spectrum)

Plots of maximum response values again selected parameters of the system or of forcing function (earthquake considered) are called ‘response spectra’.

For one-degree system, the natural period (or frequency) is the characteristic that determined its response to a given forcing function

⇒ ratio of maximum dynamic stress in a structure to the corresponding static stress

Calculation results of response for each of systems

one-degree systems with different natural periods (frequency)

input force (earthquake)

Maximum response values of systems

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

v v

d

^S

S T

S  ² 

1 

≒

_: 最大相対変 応答値(Displacement Response Spectrum)

v

v

^S

S _

: ^{最大相対速度応答値}(Velocity Response Spectrum)

v v

a

^S

S T

S ^≒ _{ } ^{2 }

: ^{最大絶対加速度応答値}(Acceleration Response Spectrum)

(2.61)

Sa vs period

Sv vs period

SD vs period

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

－ ₃重応答ス ク ル Tripartite response spectrum

    ^ _ ^{ }











T

S

S

T

S

S

d v

a v

log

2

log

log

log

log

2

log

log

log

 

(2.62)

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB

－ 応答ス ク ル response spectrum ^について

フ エ ス 地震波そ も 周波数特性 応答ス 構造物 ₁ 質点

減衰系 含 地震動 全体像

モ 解析 modal analysis

加速度応答ス ク ル：地震力 ス シア係数(base shear coefficient) ^動的震度 地震力

 

^max

max

^{m x y}

Q _ ^{ } _ ^{ }

(2.63)

ス シア係数(base shear coefficient)^{、動的震度}

   

g

T

h

S

g

y

x

W

C _ Q

^max

_ ^{    }

^max

_

^a

^,

(2.64)

静的震度_: 静的耐震設計

k

h

W

k

Q

_max

_

_h

_

(2.65)

速度応答ス ク ル：地震動 構造物 与え 最大 エネ

最大 みエネ (strain energy):

_{ }

_max ²

2

1 k x

(2.66)

単 質量あ 最大エネ _:

_{   }

2 2 max 2

max

2

1

2

1

2

1

S

v

x

m x

k  

 

^(2.67)

(maximum energy per unit mass)

ス 強度(Spectral intensity):

I

_h

_{ }

^2.5

S

_v

h T dT

1 .

0

^{( , )}

^(2.68)

変位応答ス ク ル： み 大 さ～応力 大 さ 最大 断力_:

max

max

^{k x}

Q _{ }

(2.69)

 ^{x y} 

^max

^kx

^max

m _ ^{ } _ ^{ } _

(2.70)

G G G

^EEE^OOO

^{S S} S

^CCC^III^EEE^NNN^CCC^EEE^&&&

^{G G} G

^EEE^OOO

^{E E} E

^NNN^GGG^III^NNN^EEE^EEE^RRR^III^NNN^GGG

^{L L} L

^AAA^BBB ---

[Recommended text]

William Weaver, Jr., Stephen P. Timoshenko, Donovan H. Young; Vibration problems in engineering, 5^th edition(?), Wiley Interscience.