とカイ2乗検定 計量経済学 鹿野研究室 note16

担当：鹿野（大阪府立大学）

2013 年度後期

はじめに

前回の復習

 線形制約（複数の回帰係数への帰無仮説）→_OLS残差₂乗和に影響。

 _F検定の考え方と手順。 カイ₂乗検定による検定。

今回学ぶこと

 制約付きの_OLS推定と残差₂乗和の求め方。

 回帰係数の均一性の検定。

 テキスト該当箇所 ：_6.2、_6.3章。

1 制約付き回帰モデルの実例

1.1 カイ 2 乗検定（or F 検定）の概要

 カイ₂乗検定（_{or F}検定）のアイディア：回帰モデルの係数に線形制約_H0（仮説値） を 課した残差₂乗和_{SSE0= ˆv}²

i と、制約なしの通常の残差₂乗和_{SSE = ˆu}²

i ^の差

SSE0⁻SSE ≥ 0 (1)

に着目。（∴線形制約による 。）

⊲ ^差をカイ2^{乗統計量に変換。}

χ²=m₂^{ SSE0−SSE} SSE



∼_{Chi(m1), (2)}

ここで_m1=G、_{m2=n −(K + 1)}。

⊲ ^カイ2^乗値χ²₀ >5%^臨界値χ²(m₁) ⇒ H₀^を棄却。

 _Remark：線形制約の検定では最低限、_OLSを かける必要。

⊲ 1^{回目： の}SSE = ˆu²_i ^{⇒回帰モデルを普通に}OLS^推定。

⊲ 2^{回目： の}SSE0^{= ˆv2}_i ^{⇒線形制約}H0^{の下でモデルを}OLS^推定。

1

 実証分析で典型的な線形制約 （講義ノート_#15前半も参照）

1. ^の検定。

2. ^{回帰係数の の検定。}

1.2 結合有意性の検定

 普通の回帰モデル ：簡単化のため、説明変数が二つ（_{K =3}）の重回帰モデル

Y_i = α + β₁X_1i+ β₂X_2i+ β₃X_3i+u_i (3) を考える。古典的仮定は満たされるものとする。

⊲ ^{制約なしの}OLS^残差2^乗和SSE^は、(3)^{式を すれば得られる。}

⊲ gretl^{の出力では}“Sum squared resid”^。

 結合有意性の線形制約 ：分析者が₍₃₎式に対し、線形制約

H₀: β₂= β₃=0 (4)

を置いたとする。（制約の数_{G =2}。）

⊲ ^{この制約は、「}X_2i^とX_3i^{は 」という仮説。⇒検定で棄却されれば、}X_2i と_X3iが である証拠。

⊲ ^{この制約を}(3)^{式に代入すると}

β₂= β₃ =0 ^⇒ Yi^{= .} (5)

（注意：制約付きのモデルは、 誤差項を_viと表記。）

⊲ ∴(3)^{式とは別に、} (5)^式をOLS^{推定し、制約下の残差}2^乗 和_SSE0を求めれば良い。

 _Remark：説明変数が 有意か否かが問題となる実証分析も多い。

⊲ ^例：(3)^式で、Y_i =^所得、X1i ^=年齢、X2i ^{=高卒ダミー、}X3i ^{=大卒ダミーであると}

する。「年齢をコントロールすれば、学齢は所得に影響を与えない」という仮説（疑 い）をどう検定する？

⊲ t検定による高卒ダミーの係数_β2の有意性検定は、「 が、所得へ の効果があるか否か」 の検定。大卒ダミーの係数_β3も同様。

⊲ ^一方「 の効果があるか否か」 は、_β2と_β3を の問題。

1.3 回帰係数の一次結合の検定

 回帰係数の一次結合の線形制約 ：再び₍₃₎式のモデルを考える。 いま線形制約

H0: β1^{+ β}2⁼1 (6)

を置いたとする。（制約の数_{G =1}。）

⊲ ∴係数同士の線形関係 （ ）を指定。

⊲ ^{この制約を}β₁= ^{と移項し、}(3)^{式に代入すると}

Yi^{= α +}X1i^−β2X1i^{+ β}2X2i^{+ β}3X3i⁺vi

= α +X_1i+ β₂(X_2i⁻X_1i) + β₃X_3i+v_i

⇔ _{= α + β2 + β3X3i+vi. (7)}

⊲ ∴Y_i^′=(Yi⁻X1i)^、X_2i^′ =(X2i⁻X1i)^{という変数を作れば、}

= α + β₂ + β₃X3i⁺vi^{. (8)}

コレが線形制約下の回帰モデル。⇒_OLS推定で制約付きの_SSE0が得られる。

 例：北海道の公立病院のコブ・ダグラス型生産関数（講義ノート_#13） の、推定結果（サ ンプル数_{n =89}、カッコ内は_t値）と_SSEは

log( ˆQ_i) = 0.44

(2.78)⁺(10.82)^{0.72 log(Li) + 0.18}(2.54)^log(Ki), SSE = 0.66. (9)

⊲ ^{ここで （規模に関する ）の仮定}

H₀: β₁+ β₂=1 (10)

を_{β1=1 − β2}と変形すれば、

log( ˆQi) − log( ˆLi)^

 

=qi

= α +^log( ˆKi) − log( ˆLi)^

 

=ki

β₂+vi^. (11)

⊲ qi^をki^{に回帰した結果、}

ˆq_i=0.03

(0.21)^+0.29(3.93)^ki, SSE = 0.82. (12)

β₁の推定値は、制約より間接的に_βˆ_{1 =}1 − 0.29 = 0.71^。

⊲ ^カイ2^乗値は

χ²₀= (89 − 3) ×0.82 − 0.66

0.66 ^{=20.85. (13)}

⊲ ^自由度m1⁼G =1^の5%^{臨界値は、分布表より}χ²(1) = 3.841^。∴χ²₀ =20.85 > 3.841 より_H0は 。

2 サブ・サンプルと係数の均一性検定

2.1 サブ・サンプル分析

 サブ・サンプル：サンプル数_nの標本が、二つの属性グループに分割できるとする。それ ぞれのグループのサンプルを、 と呼ぶ。

⊲ ^{「 男} or^{女 」 、「 製 造 業}or非 製 造 業 」 、「₂₀₁₀ 年 に 調 査 _{or 2011}年 に 調 査 」な ど 。

⇒ _{Di =0, 1}（講義ノート_#14） でグループを区別。

⊲ Di⁼0グループのサンプル数を 、_{Di =1}グループのサンプル数を と置 く。∴総数_{n =} 。

⊲ n0^、n2ともに十分多いならば、 それぞれのグループを別個に回帰分析しても良い。

これを と呼ぶ。

 サブ・サンプル回帰：標本を二つのグループに分割し、 それぞれ_OLS推定。

D_i =0 : Y_i= α + βX_1i+ β₂X_2i+ · · · + β_KX_Ki+u_0i, i =1, 2, . . . , n₀, (14) D_i =1 : Y_i= α^′+ β^′X_1i+ β^′₂X_2i+ · · · + β^′_KX_Ki+u_1i, i =1, 2, . . . , n₁. (15)

⊲ 回帰係数の値が、 グループ毎に 可能性。

⊲ ∴^{一般に ⇒}推定される係数の総数は、 二式合わせて 。

2.2 係数均一性の仮定：標本のプール

 サンプルのプーリング：両グループで係数に大差がないならば、サブ・サンプルに分けず、 統合したサンプルで_OLS推定すべき。

Yi = α + βX1i^{+ β}2X2i+ · · · + β_KXKi⁺vi^, i =1, 2, . . . , . (16)

⊲ 二つのグループを統合することを、「標本を 」と言う。

⊲ ^{サンプル総数}nを所与とすれば、推定すべきパラメータ数が

2(K + 1)^{−プール−−−−→}(K + 1) (17) に減るので、推定の精度が上がる。∴できることならば、 プールしたほうがお得。

⊲ プールすべきか否かを、 判断するには ？⇒カイ₂乗検定（_F検定）を 応用。

 回帰係数の均一性の線形制約 ：サブ・サンプル回帰の₍₁₄₎式と₍₁₅₎式に登場する回帰係 数に関し、次の仮説

H0 : α = α^′, β₁= β^′₁, . . . , β_K = β^′_K (18) を置く。制約の数は_{G =} 。

⊲ ∴「両グループで、 すべての係数が等しい」 という仮説。

⊲ この制約下では、二つの回帰式は統合され となる。（注意：制約下のモデ ルなので、誤差項は_vi。）

⊲ この制約が真であるならば、 サブ・サンプル毎に回帰分析する必然性がない⇒標本 をプールして回帰分析すべき。

 _Remark：サブ・サンプル_OLSとプールした_OLS、どちらの残差₂乗和が大きい？

⊲ ^{サブ・サンプル}OLS^{（制約のない}2^{本の回帰式、図}1A^）：グループ毎に異なる係数 を当てはめ⇒モデルの、データへの当てはまりが良い⇔残差₂乗和が 。

⊲ ^{プールして}OLS^（制約で2^{本の回帰式を統合、図}1B^）：両グループに同じ係数を「無 理強い・使い回し」⇒サブ・サンプル_OLSと比べ、当てはまりが悪い⇔残差₂乗

和が 。

⊲ ∴^残差2乗和の差がそれほど大きくなければ、量グループの係数の差は 、 と考えればよい！⇒カイ₂乗検定でジャッジ。

3 4 5 6 7 8 9

681012141618

A

Xi

Yi

3 4 5 6 7 8 9

681012141618

B

Xi

Yi

図_1:サブ・サンプル毎の回帰（_A）_vs. プールした回帰（_B）

2.3 回帰係数均一性のカイ 2 乗検定

 _OLS残差₂乗和の計算

⊲ 制 約 な し：標 本 を グ ル ー プ 分 け し て ₍₁₄₎式 、₍₁₅₎ 式 を そ れ ぞ れ 別 個 に _OLS推 定

⇒ を計算。

SSE =ˆu²_0i+ˆu²_1i. (19)

⊲ 制約付き：標本をプールして₍₁₆₎式を_OLS推定⇒残差₂乗和を 使う。 SSE0⁼

ˆv²_i. (20)

 係数均一性のカイ₂乗検定 1. ^カイ2^{乗値を求める。}

χ²₀=m2

 SSE0⁻SSE SSE



=[n − 2(K + 1)]^{ SSE0−SSE} SSE



. (21)

二つの回帰式を推定するので、_m2= である点に注意。

2. ^カイ2^{乗分布表から自由度}m1 ⁼G = K +1^の5%^臨界値、χ²(m1)^{を求め、上で得た} カイ₂乗値と比較。

χ²₀ χ²(m₁) (22)

ならば「係数が均一であるという制約_H0は、無視できないほど_SSEを大きくする」 と判断。⇒_H0を 。

 例：中古マンション価格（講義ノート_#12）で、ワンルーム・ワンルーム以外で分けた場 合の_OLSと、プールした_OLSの結果は次の通り。

ワンルーム以外 ワンルーム 全サンプル 係数 _t値 係数 _t値 係数 _t値 定数項 _{1933.77 12.17 798.12 1.67 1496.51 9.88} 最寄駅時間 _{-38.05 -4.08 5.36 0.24 -32.68 -3.20} 築年数 _{-63.02 -15.16 -43.92 -4.53 -58.45 -12.61}

面積 _{60.16 22.48 63.39 3.57 64.18 33.58}

修正済み_R¯² _{0.85 0.82 0.88}

サンプル数 _{157 37 194}

SSE/10^万 918 38 1020

⊲ ^{制約なしの残差}2^乗和はSSE = 918 + 38 = 956^{（和）、一方制約付きは}SSE₀=1020

（そのまま）。よってカイ₂乗値は

χ²₀ =(194 − 2 × 4) × ^{1020 − 956}

956 ^{=12.45. (23)}

⊲ ^{一方自由度}m₁ = (K + 1) = 4^の5%^臨界値はχ²(4) = 9.488^。∴ χ²₀ = 1245 > 9.488^な ので、_{H0 :}「係数が両グループで等しい」 は 。

 _Remark：時系列データ（講義ノート_#01） による回帰分析では、「ある時点_n

∗

の前後で 係数が均一か」（モデルの構造の安定性） が問題となる。これを と呼ぶ。

⊲ ^時点n^{∗を境に、観測の前半}i =1, 2, . . . , n^∗と後半i = n^∗+1, n^∗+2, . . . , n^{で、回帰係} 数が不変か？

⊲ 構造変化の検定：係数の均一性の検定をすれば良い。 テキスト_p153∼154参照。

まとめと復習問題

今回のまとめ

 カイ₂乗検定の実行法：制約付き残差₂乗和の求め方。

 回帰係数の均一性の検定。

復習問題

出席確認用紙に解答し （用紙裏面を用いても良い）、 退出時に提出せよ。

1. ^{回帰モデル}Yi ^{= α + β}1X1i^{+ β}2X2i^{+ β}3X3i⁺ui^に対し、H0: β1^{+ β}2^{+ β}3 ⁼1^{の線形制約を} 置く。制約付きの回帰モデルを導出せよ。 ただし誤差項は_viと表記すること。

2. ^{いま、標本中の観測が}5つのサブ・グループに分割できるとする。_H0：「すべてのグルー プで係数が等しい」 という線形制約の検定を考えたい。

(a) ^{制約なしの}SSE^{、制約付きの}SSE0を求める方法を述べよ。

(b) 各グループに関し、 推定すべきパラメータの数を_{K +1}とする。_m1を設定せよ。 (c) ^{この検定のためのカイ}2^{乗統計量と自由度}m₂^{を設定せよ。}