E in MeExam2010 最近の更新履歴 物理学ノート E in MeExam2010

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

全文

(1)

力学演習

期末試験(August 11, 2010) 1

✎問題にない量や記号を用いるときは定義すること。

✎解答用紙は,たて長に用いる。全ての用紙の上部に氏名・学籍番号を記入し,表だけに解答を記述する。

(100点満点)

問題1. 全質量M の気球が加速度αで降下している。質量mの砂袋を捨てることで,加速度βで上昇する

ようにしたい。気球の浮力Fが一定と仮定して以下の問いに答えよ。(20点)

1-1.砂袋を捨てる前と後の運度の様子が分かるように図を描け。

1-2.砂袋を捨てる前と後の運動方程式を書け。

1-3.運動方程式から,捨てるべき砂袋の質量mを求めよ。

問題2. ばねの一端を固定し他端に質量mの質点をつけ,ばねの振動方向が水平になるように配置する。ばね

が伸びる方向をx軸に,質点のつり合いの位置を原点に選ぶ。質点の座標がxのとき質点に働く力をf =−cx

とし,この力のほかに質点に働く力は無いとする。(25点)

2-1.質点がつり合いの位置からずれたときに働く力を図示せよ。

2-2.運動方程式を書け。

2-3.運動方程式の一般解を求めよ。

2-4.周期Tを求めよ。

2-5.初期条件を各自で指定し,そのときの解を求めよ。

問題3. 次の保存力についてポテンシャルU を計算し,それを用いて力学的エネルギー求めよ。(15点)

3-1.重力Fz=−mg=−

dU(z)

dz 。ポテンシャルの基準点としてU(0) = 0とする。

3-2.単振動 Fx=−cx=−

dU(x)

dx 。ポテンシャルの基準点としてU(0) = 0とする。

3-3.万有引力 Fr=−G

M m r2 =−

dU(r)

dr 。ポテンシャルの基準点としてU(∞) = 0とする。

問題4. 質量mの質点の位置ベクトルをr,働く力を力F として以下の問いに答えよ。(20点)

4-1.質点の角運動量lの時間微分を求めよ。

4-2.この質点に働く力が中心力の場合,角運動量lが保存することを示せ。

4-3.角運動量lが保存するなら,質点の運動が1つの平面内で行われることを示せ。

✎座標系のz軸を角運動量lと同じ向きに選び,lx=ly = 0, lz̸= 0からz= 0を導く。

4-4.前問と同じ状況で,面積速度

dS

dt をh:=xvy−yvxで表せ。この結果より面積速度一定の法則が成り 立つことを示せ。

O

P(

t

)

(2)

2

以下の問題から大問を

1

つ選択して答えよ。

(各大問20点)

問題5. ばね定数cのばねの一端を固定し他端に質量mの質点をつけ,水平方向にばねを振動させる。この質

点に速度vに比例する抵抗力f =−2kmvが働く場合を考える。以下,ばねの重さは無視する。

5-1.ばねの伸びる方向をx軸とし,質点がつり合いの位置からずれたときに働く力を図示せよ。

5-2.kの次元を求めよ。

5-3.固有角振動数(抵抗力が働かない場合の角振動数)をΩとして運動方程式を書け。

5-4.抵抗が比較的小さいk < ωの場合,減衰振動となることを示せ。初期条件はx(0) =A,x˙ = 0とせよ。

5-5.この減衰振動の周期Tを求めよ。

問題6. 質量mの質点について,以下の手順で力学的エネルギー保存則を導け。

6-1.直線上の運動で,質点には保存力かどうか分からない力F が働いている。運動方程式

md2x

dt2 =Fx (1)

の両辺でそれぞれvdtとdxとの積をとった後,それを時間で積分し,運動エネルギーの変化を力が行った仕

事を用いて表せ。境界条件はx(t1) =:x1,x(t2) =:x2,およびv(t1) =:v1,v(t2) =:v2とする。

6-2.前問で力が保存力すなわちFx=−

dU(x)

dx で与えられる場合,力が行った仕事W が途中の径路に依

らず両端の座標x1, x2だけで決まることを示せ。

6-3.以上の結果を用いて力学的エネルギー保存則を導け。

6-4.同じことを3次元の場合に拡張せよ。

問題7. 次の手順に従い,ケプラーの法則から惑星に働く太陽の引力f(r)の形を

f(r) =−GM m

r2 er

と決定せよ。ここで,Gは万有引力定数,M は太陽の質量,mは惑星の質量であり,太陽を原点とする2次

元極座標(r, ϕ)を用いて惑星の位置を表す。

✎楕円の性質に関する証明は不要。簡潔な説明を添えて用いてよい。

7-1.惑星に働く太陽の力が中心力すなわちf(r) =f(r)erとなることを示せ。

7-2.この力の成分f(r)がf(r) =−

mh2

lr2 と書けることを示せ。 ✎楕円の極座標表示r(ϕ) =

l

1 +εcosϕ を用いてよい。

7-3.上式の

h2

l が太陽系内の全ての惑星に共通な定数であることを示せ。

Updating...

参照

Updating...

関連した話題 :