最尤法 計量経済学 鹿野研究室

担当：鹿野（大阪府立大学）

2013 年度後期

はじめに

前回の復習

 最尤法（_ML）。

 最尤推定量の定義、統計的性質。

今回学ぶこと

 プロビットモデルの最尤推定。

 離散選択問題とプロビット。

 テキスト該当箇所：特になし。浅野・中村（₂₀₁₁）の₁₀章参照。標準正規分布の密度関 数・累積分布関数については東大出版会（₁₉₉₁）参照。

1 プロビットモデルの最尤推定

1.1

^{条件付きの成功確率}

 例：_Jリーグ（_J1）_2011-12年シーズン選手データ。公式サイトより。

id ^{移籍ダミー 出場時間}/3060 ^ゴール/34 J2^{降格ダミー}

1 0 0.00 0.00 0

2 0 0.97 0.03 0

3 0 0.23 0.06 0

4 1 0.01 0.00 0

...

528 1 0.03 0.03 1

⊲ ベルヌーイ成功確率（講義ノート_#27）の推定：移籍ダミーの平均で、選手の移籍確 率を推定_{⇒ ˆp = 0.44}。

⊲ 出場時間やゴール数、チームの降格が移籍確率に与える影響を推定するには？

1

 条件付き成功確率：二値反応変数_Yi（ダミー、_{0 or 1}）に関し、_{Yi = 1}の確率が別の変数 Xi^{に依存する、 を考える。}

p_i = Pr(Y_i= 1|X_i) = g(α + βX_i). (1)

ここで_α、_βは未知の係数。

⊲ ∴ X_iの値に応じて、成功確率_piが変化、個体差。（通常のベルヌーイ成功確率は_p で一定。）

⊲ g(·)^は

0 < g(·) < 1 (2)

を満たす関数。_piか確率であるために必要な条件。

 条件付きベルヌーイ分布：成功確率が₍₁₎式のとき、条件付きのベルヌーイ分布を得る。 f (yi^|xi) = (1 − pi)^1−yip^y_iⁱ

=^1 − g(α + βX_i)^1−yig(α + βX_i)^yi. (3)

⊲ ^{講義ノート}#26と同じ要領で、条件付き期待値をとると

E(Yi|Xi) = 0 · (1 − pi) + 1 · pi = pi = Pr(Yi= 1|Xi)

= . (4)

⊲ ∴^{コレは の一種。関数}g(·)^により、α + βXi^{が非線形変換。}

1.2

^{プロビットモデル}

 プロビット：成功確率を作る関数_g(·)として、標準正規分布の累積分布関数

pi = Φ(α + βXi) (5)

がよく使われる。これを （_probit）と呼ぶ。_Φは「ファイ」と読む。

⊲ ^{なぜこの関数？}⇒^図1^より、

0 < Φ(·) < 1. (6)

∴条件₍₂₎式を満たす。

⊲ ^このとき(3)^{式のベルヌーイ分布は}

f (yi|xi) =^1 − Φ(α + βXi)^1−yiΦ(α + βXi)^yi. (7)

 プロビットの最尤推定：₍₇₎式の対数をとると

log f (y_i|x_i) = (1 − y_i) log^1 − Φ(α + βX_i)^+ y_ilog Φ(α + βX_i). (8) 上式の和により、条件付き対数尤度関数（講義ノート_#26）を得る。

log L(α, β) =^log f (y_i|x_i). (9)

⊲ log L(α, β)^をα^、β^で ⇒ αˆ^、ˆβ^。

⊲ ^注意：OLS^・IV推定と違い、プロビットは非線形回帰モデル。_⇒推定値を解析的に 解くことができない。数値最適化が必要。

⊲ gretl^{の「モデル」}→^「limited dependent variable^」→^{「プロビット」}→^{「二値」。}

 例：移籍確率を出場時間、ゴール数、降格ダミーにプロビット回帰。_⇒係数の推定結果。 ゴール数以外統計的に有意。

プロビット（_ML） 線形回帰（_OLS） 係数 _t値 係数 _t値

定数項 _{0.22 2.49 0.58 17.30}

出場時間 _{-1.39 -6.87 -0.50 -7.80}

ゴール _{0.83 1.12 0.26 1.07} 降格ダミー _{0.51 3.37 0.19 3.24} 対数尤度値 _-328.94

修正済み_R² _0.11 サンプル数_{n 528 528}

⊲ 出場時間が長いほど、次シーズン移籍する確率は落ちる。

⊲ ^チームのJ2への降格で、選手が流出。

⊲ ^{確率の性質（}0^以上1以下）を無視し、移籍ダミーを説明変数に線形回帰しても同様 の結果（線形確率モデル、講義ノート_#14）。_...プロビットと線形回帰で、あまりに も推定値が違い過ぎないか？

⊲ 実は、プロビットの係数推定値と線形回帰の係数推定値は、直接 。

⇒^{限界効果に換算。}

1.3

限界効果：プロビット回帰の留意点

 限界効果：回帰モデルの、説明変数に関する導関数 MA = ^dE(Yi|Xi)

dXi

(10)

を一般に、 （marginal effect^{、 ）と呼ぶ。}

⊲ 通常、分析者が興味のあるパラメータは、この限界効果。

⊲ ^{例：線形回帰モデル}E(Y_i|X_i) = α + βX_i^{の限界効果は} MA = ^dE(Yi|Xi)

dXi

= β. (11)

∴この場合、係数の_OLS推定値 _{ˆβ =}限界効果の推定値。

 プロビットの限界効果は

MA = ^{dΦ(α + βXi)} dXi

= ^β. (12)

ここでφ(·) > 0は標準正規分布の密度関数。小文字の「ファイ」。

⊲ ∴線形回帰モデルと異なり、_βの推定値が限界効果と一致しない。非線形モデルゆえ の性質。

⊲ ^証明：Wi = α + βXiと置けば、合成関数の微分公式より MA = ^dΦ(Wi)

dX_i ⁼

dΦ(Wi) dW_i

dWi

dX_i ⁼

dΦ(Wi)

dW_i ^{β. (13)}

ここで、累積分布と密度関数の性質から dΦ(Wi)

dW_i

累積分布の導関数

= φ(Wi)

密度関数

. (14)

よって

MA = φ(Wi)β = φ(α + βXi)β. (15)

 _Remark：プロビット回帰を行ったら、必ず限界効果の推定値

MA = φ( ˆ α + ˆβ ¯X) ˆβ (16)

をレポート。_X¯ は説明変数の平均値。

⊲ ^係数のML^推定値 ˆβ^{自体は、「変数}Xi^{が一単位増えたとき、}Yi = 1^{の確率がどれた} け変化するか」と解釈できない。∴ な議論をするためには、限界効果への 換算が必要。

⊲ ^{関数の性質上}φ(·) > 0 ⇒単に限界効果の符号を知りたい（ な議論）なら ば、_ˆβだけで良い。

⊲ 統計ソフトのプロビットコマンドには、限界効果を求めるオプションがある。

 例：先ほどの分析例で、プロビットの係数を限界効果に直すと_...

プロビット（_ML) 線形回帰（_OLS） 係数 _t値 限界効果 係数 _t値

定数項 _{0.22 2.49 0.58 17.30}

出場時間 _{-1.39 -6.87 -0.55 -0.50 -7.80}

ゴール _{0.83 1.12 0.32 0.26 1.07} 降格ダミー _{0.51 3.37 0.20 0.19 3.24}

⊲ 線形回帰の係数推定値と、プロビットの限界効果は 。

⊲ 「限界効果を推定したいなら、_OLSのほうが早い（プロビットは要らん）」という専 門家も。

2 離散選択問題とプロビット

2.1

合理的個人の離散選択とその多様性

 離散選択問題：個人（企業）が、有限の選択肢から最適なものを一つ選ぶ行動を、離散選 択と呼ぶ。

⊲ ^{：「働く・働かない」、「結婚する・しない」、「操業する・しな} い」など、二つの選択肢から選択。

⊲ ^{：「ブランド}A^・B^・C^・D^{から一つ選ぶ」、}「就業・失業・非労働力から 一つ選ぶ」など、選択肢が二つ以上。

⊲ 合理性の仮定：個人は、 をもたらす選択肢を選ぶ。

 選択の多様性：個人にとってベストな選択・戦略は、年齢や性別など、個人属性に依存。

⇒^{選択の 。}

⊲ 例：男性と比べ、女性は赤いスマートフォンケースを選ぶ傾向。

⊲ 百人が百人とも同じ選択をするのは、むしろまれなケース。 2.2

^{プロビットの導出}

 _Remark：二値ダミー_Yiの背後にある個人の選択行動。

⊲ 例：なぜチームに留まらず移籍したか？_⇒移籍（_{Yi = 1}）の効用が、移籍しない

（_{Yi= 0}）効用を上回ったから。

⊲ ^{例：なぜ酒を飲むか？}⇒^{酒を飲んだ（}Y_i = 1）効用が、酒を飲まない（_{Yi = 0}）効用 を上回ったから。

⊲ ∴^{人は、自分にとって それを行う。}⇒データとして観測された二値ダ ミー_{Yi= 0, 1}は、合理的個人が二項選択問題を解いた「足跡」！

 潜在変数：個人_iが_{Yi = 1}を選ぶことで得られる効用水準を、連続的な で 表す。

Y_i^∗= α + βX_i+ u_i. (17)

⊲ ∴^{効用が個人属性}X_i^に依存⇒個人間の選択の違いを生む。

⊲ ui^は同一なXiの値を持つ個人間の、効用の差異（好み）。標準正規分布に従うと仮定。

ui ^∼N(0, 1). (18)

⊲ ^一方、Yi= 0^{を選んだ時の効用を に基準化。}

 選択確率：個人の合理性を仮定すれば、効用_Y^∗

i^{（観測不可能）と選択Yi（観測可能）の}

対応関係は

Y_i^∗= α + βXi+ ui ^≤0 ⇔ Yi^{= ,} (19) Y_i^∗= α + βXi+ ui ^>0 ⇔ Yi^{= .} (20)

⊲ ∴ Xiが与えられたもとで、個人_iが_{Yi = 1}をとる確率は

Pr(Yi = 1|Xi) = Pr(Y_i^∗>0|Xi) = Pr(α + βXi+ ui^>0|Xi). (21)

 プロビット：_uiが正規分布ならば、選択確率は

Pr(Yi = 1|Xi) = , (22)

つまりプロビットの成功確率となる。

⊲ ∴プロビットモデルは、一定の条件のもと、二項選択問題から導出できる！

⊲ ^証明：Wi = α + βXiと置く。正規分布の対称性を使えば Pr(Yi = 1|Xi) = Pr(Wi+ ui ^>0|Xi) = Pr(ui > −Wi|Xi)

= Pr(ui ^<Wi|Xi)

=

 Wi

ui=−∞

φ(u_i)du_i = Φ(W_i). (23)

 _Remark：プロビットは、個人属性が離散選択に与える影響を分析する際に、最も適切な

計量モデル。

⊲ 二値反応変数の回帰分析で、簡便な線形回帰よりプロビットのほうが（経済学者に） 好まれる理由。経済理論による基礎づけ。

⊲ 個人の離散的な効用最大化（選択肢の比較）から出発して、多項選択を実証分析す るためのモデル（ ）に拡張可能。大学院レベルのトピック。

まとめと復習問題

今回のまとめ

 最尤法の基本的な考え方。

 最尤推定量と、その統計的性質。

復習問題

出席確認用紙に解答し（用紙裏面を用いても良い）、退出時に提出せよ。

1. ^{二値反応ダミー}Yi^をXiに回帰する方法として、線形回帰（線形確率）モデルとプロビッ トモデルがある。

線形回帰_{: E(Yi|Xi) = α + βXi, (24)}

プロビット_{: E(Yi|Xi}) = Φ(α + βXi). (25) それぞれの利点と欠点を整理せよ。