LCL フィルタ設計

次に，LCL フィルタの設計手法について述べる。系統連系インバータにおける LCL フィルタの設計は，「フィルタカットオフ周波数」「パーセントインピーダンス」「基本 波に対するリプル率」によって決定される。以下に設計手順を示す。

a：LCLフィルタのカットオフ周波数の導出

b：系統に対するパーセントインピーダンスの設定

c：出力電流𝑖_iの基本波に対するリプル率(𝑟_i)について立式 ⇒ 𝐿_fを定式化

d：コンデンサ電圧𝑣_Cfの基本波に対するリプル率(𝑟_v)について立式 ⇒ 𝐶_fを定式化

e：系統電流𝑖_gの基本波に対するリプル率(𝑟_g)について立式 ⇒ 𝐿_ACを定式化

f：𝐿_f，𝐶_f，𝐿_ACの選定

3.3.3.a LCLフィルタのカットオフ周波数の導出

図3-15にLCLフィルタの回路図，図3-16にLCLフィルタのブロック線図を示す。

まず初めに，図3-16のブロック線図よりインバータ電圧𝑉_𝑖に対する系統電流𝑖_gの伝達関 数を求める。式(3.1)にその伝達関数を示す。また，インバータ電圧𝑉_iに対するインバー タ出力電流𝑖_ACの伝達関数を式(3.2)に示す。

𝑖_𝑔 𝑉_𝑖 =

𝐿_𝑓𝐶1_𝑓𝐿_𝐴𝐶

𝑠 (𝑠²+𝐿_𝑓+ 𝐿_𝐴𝐶 𝐿_𝑓𝐶_𝑓𝐿_𝐴𝐶)

(3.1)

𝑖_𝑖 𝑉_𝑖 = 1

𝐿_𝑓

𝑠²+ 1 𝐿_𝐴𝐶𝐶_𝑓 𝑠 (𝑠²+𝐿_𝑓+ 𝐿_𝐴𝐶

𝐿_𝑓𝐶_𝑓𝐿_𝐴𝐶) (3.2)

𝑓_res= 1

2𝜋√𝐿_𝑓+ 𝐿_𝐴𝐶

𝐿_𝑓𝐶_𝑓𝐿_𝐴𝐶 (3.3)

- 41 -

図3-15 LCLフィルタ回路図

図3-16 LCLフィルタにおけるブロック線図

この時，式(3.1)及び式(3.2)において分母＝0となる点が共振周波数𝑓_resとなるため，𝑓_res は式(3.3)で表される。この共振周波数𝑓_resは一般的に，スイッチング周波数の 2 分の 1 以下かつ商用周波数の10倍以上とするために，式(3.4)で示す範囲で定義される。

10𝑓₁≤ 𝑓_res ≤ 1

2𝑓_𝑆𝑊 (3.4)

ここで，𝑓₁は商用周波数，𝑓_SWはスイッチング周波数を表している。

3.3.3.b 系統に対するパーセントインピーダンスの設定

次に，系統に対するインダクタンスL(𝐿_f+ 𝐿_AC)とコンデンサ𝐶_fのパーセントインピー ダンスを求め，L及び𝐶_fの上限値を求める。

まず初めに，系統インピーダンス𝑍_gは式(3.5)で表される。また，今回は定格条件での フィルタ設計を行うため，系統電圧𝑣_g= 100Vrms出力電力𝑃_AC＝1kWとする。

Z_g= 𝑣_𝑔²

𝑃_𝐴𝐶 (3.4)

フィルタインダクタンス L の系統に対するパーセントインピーダンスは 10%として 設計すると，インダクタンスLの上限値は式(3.5)で示す不等式で表される。

i

i

L

f

C

f

L

AC

v

g

V

i

i

c

i

g

v

c

1/sC

f

i g

V

_i

1/sL

_i

i

C

1/sL

g

v

_g

v

C

i

i

- 42 - 𝐿 = 𝐿_f+ 𝐿_𝐴𝐶 ≤0.1𝑍_𝑔

2𝜋𝑓₁ (3.5)

式(3.5)より，フィルタインダクタLの上限値は3.18mHとなる。

次に，コンデンサ𝐶_fの系統に対するパーセントインピーダンスは 5%として設計する と，コンデンサ𝐶_fの上限値は式(3.6)に示す不等式で表される。

𝐶_𝑓 ≤ 0.05

2𝜋𝑓₁𝑍_𝑔 (3.6)

式(3.6)より，フィルタコンデンサ 𝐶_fの上限値は15.9μFとなる。

3.3.3.c 出力電流𝒊_𝐢の基本波に対するリプル率(𝒓_𝐢)について立式

続いて，インバータ出力電流𝑖_𝑖の基本波に対するリプル率𝑟_𝑖について考える。まず初 めにインバータのスイッチングにより生じる正弦波出力電流𝑖_𝑖のリプルの最大値∆𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥} を計算により求め，次に定格条件における出力電流の最大値𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥}を求める。その後，

基本波に対するリプル率𝑟_𝑖について立式し，インバータ側インダクタ𝐿_𝑓を定式化する。

インバータのスイッチングにより生じる電流リプル∆𝑖_𝑖について考察する。図3-17にイ ンバータの出力電圧𝑉_𝑖,出力電流𝑖_𝑖の波形を示す。図3-17から，例えばスイッチS1, S4が オン状態にある時は，インバータ出力電圧𝑉_𝑖はインバータ入力電圧𝑉_𝐷𝐶と等しくなるた め，出力電流𝑖_𝑖は上昇する。この時，式(3.7)が成り立つ。

𝑉_𝐷𝐶 = 𝐿_𝑓 ∆𝑖_𝑖

𝑚_𝑎𝑇_𝑆+ 𝑣_c (3.7)

ここで，𝑚_𝑎はスイッチのDuty比を表しており，T_Sはスイッチング周期を表している。

一方で，スイッチS2, S4がオン状態にある時は，インバータ出力電圧𝑉_𝑖は0Vとなるた め，出力電流𝑖_𝑖は減少する。この時，式(3.8)が成り立つ。

𝑉_𝐷𝐶 = −𝐿_𝑓 ∆𝑖_𝑖

(1 − 𝑚_𝑎)𝑇_𝑆+ 𝑣_c (3.8)

式(3.7)と式(3.8)を連立し，𝑉_DCを消去する事により，式(3.9)に示すように，電流リプ ル式が導出される。

- 43 -

図3-17 インバータ出力電圧・電流波形 図3-18 Duty比に対する電流リプル量

∆𝑖_𝑖 = 𝑉_𝐷𝐶𝑇_𝑆

𝐿_𝑓 𝑚_𝑎(1 − 𝑚_𝑎)

(3.9) ここで，式(3.9)の∆𝑖_𝑖と𝑚_𝑎の関係を図3-18に示す。図3-18より，電流リプル∆𝑖_𝑖はm_aの 二次関数で表され𝑚_𝑎 = 0.5の時に，電流リプル∆𝑖_𝑖は最大となることが分かる。よって，

最大リプル電流∆𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥}は式(3.10)で表される。

∆𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥}= 𝑉_𝐷𝐶

4𝐿_𝑓𝑓_𝑆𝑊 (3.10)

次に，定格条件における出力電流の最大値𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥}は式(3.11)で表される。

𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥} = 𝑃_𝐴𝐶

𝑣_𝐶 × √2 (3.11)

最後に，式(3.10)及び式(3.11)から，基本波電流に対するリプル率𝑟_𝑖は式(3.12)式で求ま る。

𝑟_𝑖 = ∆𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥}

𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥} = 𝑉_𝐷𝐶𝑣_𝐶

4√2𝐿𝑓𝑓_𝑆𝑊 (3.12)

式(3.11)を𝐿_𝑓について解く事で，式(3.13)で表されるように，𝐿_𝑓を定式化できる。

𝐿_𝑓= 𝑉_𝐷𝐶𝑣_𝐶

4√2𝑟𝑖𝑓_𝑆𝑊 (3.13)

0 VDC

Vi

ii

0

maTS (1-ma)TS

TS

Δ_ii Ii_ave

0 1

インバータ スイッチングパターン

S2S4 S1S4 S2S4 S1S4 S2S4

電流リプルΔii

変調率m_a

0 Δimax

0.5 1

- 44 -

3.3.3.d コンデンサ電圧𝒗_𝐂𝐟の基本波に対するリプル率(𝒓_𝐯)について立式

次に，コンデンサ電圧𝑣_𝐶の基本波に対するリプル率𝑟_𝑣について考える。ここでは，ブ ロック線図によりリプル率𝑟_𝑣を求める。フィルタコンデンサに生じるリプル電圧∆𝑣_𝐶は インバータ出力電圧リプル∆𝑉_𝑖や電流リプル∆𝑖_𝑖によって生じるため，∆𝑉_𝑖，∆𝑖_𝑖に対する

∆𝑣_𝐶を伝達関数により求める。そのため，ここで用いるブロック線図は高周波リプルに 着目したブロック線図を用いる。系統電圧や𝐿_𝐴𝐶には高周波電圧・電流は生じないもの とすると，高周波リプルに着目したブロック線図は図3-19のように示される。

図3-19 高周波電圧リプルに着目したLCLフィルタブロック線図

図 3-19 より，インバータ出力電圧リプル∆𝑉_𝑖に対するコンデンサリプル電圧∆𝑣_𝐶の伝

達関数𝐺_𝑖𝑐(s)は式(3.14)で表される。また，この時のインバータ出力電圧リプル∆𝑉_𝑖と電

流リプル∆𝑖_𝑖の関係式(3.15)に示され，更に式(3.12)を用いて変形することが出来る。

𝐺_𝑖𝑐(𝑠) = ∆𝑣_𝐶

∆𝑉_𝑖 = 1

1 + 𝜔_𝑆𝑊² 𝐿_𝑓𝐶_𝑓 (3.14)

∆𝑉_𝑖 = 𝜔_𝑆𝑊𝐿_𝑓∆𝑖_𝑖

= 𝜔_𝑆𝑊𝐿_𝑓 √2𝑃_𝐴𝐶 𝑣_𝑐

(3.15)

式(3.14)と式(3.15)よりコンデンサ電圧𝑣_𝐶の基本波に対するリプル率𝑟_𝑣は式(3.16)に示 す形で表せる。また，式(3.16)をコンデンサ容量𝐶_𝑓について解く事により，式(3.17)に示 すように𝐶_𝑓を定式化できる。

𝑟_𝑣= ∆𝑣_𝐶

𝑣_𝐶 = 1 1 + 𝜔_𝑆𝑊² 𝐿_𝑓𝐶_𝑓

∆𝑉_𝑖 𝑣_𝐶

= √2𝑃_𝐴𝐶𝜔_𝑆𝑊𝐿_𝑓 𝑣_𝑐²(1 + 𝜔_𝑆𝑊² 𝐿_𝑓𝐶_𝑓)

(3.16)

𝐶_𝑓 = √2𝑃_𝐴𝐶𝑟_𝑖(𝜋𝑉_𝐷𝐶―2𝜔_𝑆𝑊² 𝑟_𝑣𝑣_𝐶)

𝜋𝑟_𝑣𝑣_𝐶²𝜔_𝑆𝑊𝑉_𝐷𝐶 (3.17)

1/sC

f

Δ _V

_i

1/sL

f

Δ _i

_i

Δ _v

_C

- 45 -

3.3.3.e 系統電流𝒊_𝐠の基本波に対するリプル率(𝒓_𝐠)について立式

最後に，微小ではあるが系統電流𝑖_gの基本波に対するリプル率(𝑟_g)について立式し，

そこから系統側インダクタ𝐿_𝐴𝐶について定式化する。図3-20にインバータ側の高周波リ プル電流∆𝑖_𝑖に対する高周波系統電流リプル∆𝑖_𝑔のブロック線図を示す。図3-20より，∆𝑖_𝑖 に対する∆𝑖_𝑔の伝達関数𝐺_𝑖𝑔(s)が導出できる。式(3.18)にその式を示す。

図3-20 高周波電流リプルに着目したLCLフィルタブロック線図

𝐺_𝑖𝑔(𝑠) = ∆𝑖_𝑔

∆𝑖_𝑖 = 𝑟_𝑔𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥}

𝑟_𝑖𝑖_{𝑖𝑚𝑎𝑥} = 1

1 + 𝜔_𝑆𝑊² 𝐿_𝑔𝐶_𝑓 (3.18)

ここで，式(3.18)に式(3.17)を代入することで，系統側インダクタ𝐿_𝐴𝐶が定式化できる。

𝐿_𝐴𝐶の式は式(3.19)で表される。

𝐿_𝐴𝐶 = 𝜋𝑉_𝐷𝐶𝑣_𝑐²𝑟_𝑣(𝑟_𝑖− 𝑟_𝑔)

√2𝜔_𝑆𝑊𝑟_𝑖𝑟_𝑔𝑃_𝐴𝐶(𝜋𝑉_𝐷𝐶− 2𝑟_𝑣𝑣_𝑐) (3.19)

3.3.3.f 𝑳_𝐟，𝑪_𝐟，𝑳_𝐀𝐂の選定

以上より，(c)(d)(e)の過程で得られた𝐿_𝑓, 𝐶_𝑓, 𝐿_𝐴𝐶についての式(3.13)式(3.17)式(3.19)より 𝐿_𝑓, 𝐶_𝑓, 𝐿_𝐴𝐶を導出する。𝐿_𝑓, 𝐶_𝑓, 𝐿_𝐴𝐶の決定にあたって，定格条件には𝑃_𝐴𝐶 = 1𝑘𝑊,𝑉_𝐷𝐶= 200𝑉, 𝑣_𝐶 = 108𝑉, 𝑓₁= 50𝐻𝑧, 𝑓_𝑆𝑊 = 20kHzとする。また，各電圧電流リプル率𝑟_𝑖, 𝑟_𝑣, 𝑟_𝑔に ついて，𝑟_𝑔は𝑟_𝑔= 0.003(0.3%)で固定する。また，𝑟_𝑖は10%以内に収まるように設計し，

𝑟_𝑣は𝑟_𝑣= 0.05(5%)以内に収まるように設計した。 計算結果より，𝐿_𝑓, = 2.0𝑚𝐻 𝐶_𝑓 = 6.3𝜇𝐹, 𝐿_𝐴𝐶 = 1.4𝑚𝐻となった。この時の各リプル率は𝑟_𝑖 = 9.54%, 𝑟_𝑣= 1.45%, 𝑟_𝑔= 0.30%

となっている。図3-21にインダクタ及びコンデンサの写真を示す。また，この時式(3.5) に示すインダクタンスの上限値を超えてしまっているため，フィルタインダクタンスL の系統に対するパーセントインピーダンスは10%を超えてしまう。

1/sC

f

Δ _{i g}

1/sL

_g

Δ v

_g

Δ _v

_C

Δ _{i i}

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この時のフィルタのカットオフ周波数は式(3.3)により 2.2kHz と求まる。図 3-21 に LCLフィルタのボード線図を示す。図3-22よりLCLフィルタの共振周波数はカットオ フ周波数と同様計算通り2.2kHzとなっている。

(a) 𝐿_𝑓 (b) 𝐶_𝑓 (c) 𝐿_𝐴𝐶

図3-21 LCLフィルタのインダクタ・コンデンサ写真

図3-22 LCLフィルタボード線図（上：Gain特性 下：位相特性）

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ドキュメント内 修士学位論文 題名 パワーデカップリング形パワーコンディシ ョナの低力率動作特性に関する研究 指導教授清水敏久 教授 平成 29 年 2 月 16 日 提出 首都大学東京大学院 理工学研究科電気電子工学専攻 学修番号 氏名瀨田雄介 (ページ 50-57)